Теорема Хейде є однією з відомих характеризаційних теорем математичної статистики. Згідно з класичною теоремою Каца–Бернштейна, якщо сума та різниця незалежних випадкових величин є незалежними, то ці випадкові величини мають розподіли Гауса (нормально розподілені). Узагальненням цієї теореми є теорема Скитовича–Дармуа, в якій замість суми та різниці розглядаються лінійні форми від незалежних випадкових величин. У теоремі Хейде розподіл Гауса характеризується симетрією умовного розподілу однієї лінійної форми при фіксованій іншій. Теорема доведена у 1970 році C. C. Heyde. Characterization of the Normal Law by the Symmetry of a Certain Conditional Distribution // Sankhyā: The Indian Journal of Statistics, Series A. — 1970. — Vol. 32, No. 1. — P. 115–118. — JSTOR., див. також A. M. Kagan, Yu. V. Linnik, C. R. Rao. Characterization Problems of Mathematical Statistics. — New York: Wiley, 1973. — ISBN 978-0471454212.. Формулювання теореми Нехай — незалежні випадкові величини, — ненульові константи. Припустимо, що виконана умова: для всіх . Якщо умовний розподіл лінійної форми при фіксованій симетричний, то всі випадкові величини мають розподіли Гауса (нормально розподілені).
Доведення теореми спирається на теорему Крамера про розклад нормального розподілу, а також на наступну теорему Марцинкевича: якщо в околі нуля логарифм характеристичної функції деякого розподілу є многочленом, то цей розподіл є розподілом Гауса. Узагальнення на локально компактні абелеві групи Багато робіт було присвячено узагальненню теореми Хейде у випадку, коли незалежні випадкові величини набувають значень у локально компактній абелевій групі, а коефіцієнтами лінійних форм є топологічні автоморфізми групи. Огляд значної частини цих робіт можна знайти в G. Feldman. Characterization of Probability Distributions on Locally Compact Abelian Groups. — Providence, RI: American Mathematical Society, 2023. — (Mathematical Surveys and Monographs; Vol. 273). — ISBN 978-1-4704-7295-5.. Як приклад наведемо один з групових аналогів теореми Хейде.
ТеоремаG. M. Feldman. On a characterization theorem for locally compact abelian groups // Probability Theory and Related Fields. — 2005. — Vol. 133. — P. 345–357. — https://doi.org/10.1007/s00440-005-0429-4.. Нехай — локально компактна абелева група, яка задовольняє другу аксіому злічуваності та не містить елементів порядку 2. Нехай — група топологічних автоморфизмів , а — незалежні випадкові величини зі значеннями в та розподілами , характеристичні функції яких не обертаються в ноль. Нехай і виконана умова для всіх . Якщо умовний розподіл лінійної форми при фіксованій симетричний, то всі є розподілами Гауса.
Доведення теореми спирається на групові аналоги теореми Крамера про розклад нормального розподілу та теореми Марцинкевича. Примітки