Формула Єнсена є твердженням у комплексному аналізі, що описує поведінку голоморфної в крузі функції в залежності від модулів нулів цієї функції. Твердження є важливим зокрема при вивченні цілих функцій.

Твердження Нехай є голоморфною функцією в області комплексної площини, що містить замкнутий круг з центром 0 і радіусом r і нулі в , враховуючи їх кратність. Якщо не є рівним нулю, то

Еквівалентно якщо позначає кількість нулів функції строго менших за модулем , то

Доведення Припустимо спершу, що функція не має нулів у . У цьому випадку вона не має нулів у для деякого малого . Оскільки є однозв'язною і не є рівною нулю, то існує функція , що є голоморфною в , така що . Тому функція , дійсна частина голоморфної функції, є гармонічною в . Зокрема вона є гармонічною в і неперервною в . Згідно властивості середнього значення:Це завершує першу частину доведення. Припустимо що функція має нулі в , пронумеровані в такий спосіб: :ПозначимоФункція є голоморфною в і не рівною нулю в . Згідно першої частини доведення: Тому для завершення доведення достатньо показати, що . Оскільки і, позначивши отримуємо:тож, що завершує доведення.

Застосування

Фундаментальна теорема алгебри Фундаментальна теорема алгебри стверджує, що кожен многочлен з комплексними коефіцієнтами степеня має коренів, враховуючи кратність. Для теореми існує кілька доведень з використанням ідей комплексного аналізу. Зокрема для доведення можна використати формулу Єнсена. Нехай маємо многочлен де не дорівнює нулю. Припустимо також, що не дорівнює нулю. Відображення є цілою функцією (тобто голоморфною в ). Для великих за модулем комплексних чисел маємо . Згідно з класичними методами порівняння розбіжних інтегралів маємо:

Многочлен степеня в має щонайбільше k комплексних коренів, враховуючи кратність. Тоді кількість коренів у крузі для достатньо великих є константою, рівною кількості коренів многочлена . Згідно з формулою Єнсена

Після порівняння двох еквівалентностей . Тобто многочлен має коренів, враховуючи кратність. Формула Єнсена використовується для оцінення кількості нулів голоморфних функцій. А саме, якщо f є голоморфною в крузі радіуса R з центром у точці z0 і якщо |f| є обмеженою числом M на межі круга, тоді кількість нулів f у крузі радіуса r<R з центром у цій же точці z0 не перевищує

Формула Єнсена є важливою у вивченні розподілу значень цілих і мероморфних функцій, зокрема теорії Неванлінни. Формула Єнсена для многочленів однієї змінної дозволяє обчислити міру Малера многочлена, тобто добуток коренів многочлена з модулем більшим 1.

Узагальнення

Мероморфні функції Формулу Єнсена можна узагальнити для мероморфних функцій у . Припустимо, що

де g і h є голоморфними у , з нулями у точках і

відповідно. Формула Єнсена для мероморфних функцій має вид

Формула Пуассона — Єнсена Формула Єнсена є наслідком більш загальної формули Пуассона — Єнсена, яка натомість випливає з формули Єнсена за допомогою перетворення Мебіуса застосованого до z. Цю формулу вперше вивів Рольф Неванлінна. Якщо функція f є голоморфою в одиничному крузі, з нулями a1, a2, ..., an розміщеними всередині одиничного круга, то для кожного в одиничному крузі формула Пуассона — Єнсена має вигляд

Тут,

є ядром Пуассона в одиничному крузі. Якщо функція f не має нулів в одиничному крузі, то формула Пуассона — Єнсена зводиться до

тобто до інтегральної формули Пуассона для гармонічної функції .

Література