Теоре́ма Віє́та — формули, названі на честь Франсуа Вієта, що виражають коефіцієнти многочлена через його корені.

Ці формули зручно використовувати для перевірки правильності знаходження коренів та для задання многочлена з визначеними властивостями.

Формули Якщо  — корені многочлена (кожен корінь присутній відповідно до його кратності), то коефіцієнти є елементарними симетричними многочленами від коренів, а саме:

Іншими словами дорівнює сумі всіх можливих -добутків із коренів.

Якщо старший коефіцієнт многочлена , то для застосування формули Вієта необхідно розділити всі коефіцієнти на .

Із останньої формули Вієта випливає, що якщо корені многочлена є цілими, то вони є дільниками його вільного члена, який також є цілим.

Доведення

Доведення використовує рівність .

Права частина представляє многочлен, розкладений на множники.

Після розкриття дужок, коефіцієнти при однакових степенях x повинні бути однаковими в обох частинах рівності, з чого слідують формули Вієта.

Приклади Якщо корені квадратного рівняння то .

В частковому випадку при (квадратне рівняння ), то .

Якщо корені кубічного рівняння то .

В частковому випадку (кубічне рівняння ), то .

Якщо корені рівняння четвертого степеня то

.

В частковому випадку (рівняння ), то

.

Див. також Основна теорема алгебри

Джерела