Теорема Бора — ствердує, що гамма-функція, означена на як
це єдина функція на проміжку , яка одночасно має такі три властивості
, і для і — логарифмічно опукла.
Доведення Нехай буде функцією з припущеними вище властивостями: і опукла, і . З того, що ми можемо вивести
Це нам потрібно для того, щоб змушувало повторювати фукторіали всіх цілих чисел, отже тепер ми можемо сказати, що якщо і якщо взагалі існує. З нашої формули для випливає, що якщо ми повністю розуміємо для то ми розміємо для всіх значень .
Нахил лінії, що з'єднує дві точки: і , назвемо його , монотонно висхідний для кожного зі своїх аргументів з бо ми припустили, що опукла. Отже, ми знаємо, що
Перехід можливий, бо монотонно висхідна. Останній рядок — це сильне твердження. Зокрема, воно виконується для всіх значень . Тобто не більша ніж правий бік для будь-якого і так само, не менша ніж лівий бік для будь-якого . Кожну нерівність можна тлумачити як незалеєне твердження. Завдяки цьому факту, ми вільні обирати різні значення для правого лівого боків. Так, якщо ми збережемо для правого боку і виберемо для лівого, то:
З останнього рядку очевидно, що функція затиснена між двома виразами, звичайна практика для доведення різноманітних штук як-от існування границі або сходимості. Нехай :
тому при переході до границі лівий і правий боки дорівнюють один одному і це означає, що
У контексті нашого доведення
має три властивості . Також, доведення надає вираз для . І остання критична частина доведення — це те. що границя послідовності унікальна. Це означає, що для будь-якого вибору може існувати лише одне . Отже, не існує іншої функції з властивостями приписаними .
Залишилось покажати, що спрацьовує для всіх для яких
існує. Проблема полягає в тому, що ми побудували нашу першу нерівність
з обмеженням . Якщо, скажімо, тоді факт того, що монотонно висхідна зробив би , що протирічить нерівності на якій побудувоне все доведення. Але зауважте, що
що показує як розгорнути функцію для всіх значень де границя має місце.
Література
Посилання
(Textbook in Complex Analysis)