В математиці, алгебра Лі називається редуктивною, якщо її приєднане представлення є цілком звідним. Еквівалентною умовою є те, що алгебра Лі є прямою сумою напівпростої і абелевої алгебри Лі: інші еквівалентні умови подані нижче.
Означення Алгебра Лі над полем характеристики 0 називається редуктивною, якщо виконуються еквівалентні умови: Приєднане представлення алгебри є прямою сумою незвідних представлень. допускає точне, цілком звідне, скінченновимірне лінійне представлення. Радикал алгебри Лі рівний її центру: Для загальної алгебри Лі її радикал містить центр, але може не бути рівним йому. є прямою сумою напівпростого ідеалу і її центру є прямою сумою напівпростої алгебри Лі і абелевої алгебри Лі : є прямою сумою простих ідеалів:
Приклади Одним із найпростіших і найважливіших прикладів є алгебра Лі матриць розмірності зі звичайним комутатором матриць. Вона є редуктивною, оскільки є сумою скалярних матриць і матриць, слід яких рівний нулю. За означенням будь-яка напівпроста алгебра Лі і абелева алгебра Лі є редуктивними. Над полем дійсних чисел, компактні алгебри Лі є редуктивними.
Властивості Властивість редуктивності зберігається як при розширенні, так і при звуженні поля, над яким визначена алгебра Лі. Для алгебрично замкнутого поля редуктивна алгебра Лі є ізоморфною алгебрі Лі деякої редуктивної алгебричної групи. Перетином редуктивних алгебр Лі і розв'язних алгебр Лі є абелеві алгебри Лі.
Див. також Розв'язна алгебра Лі
Посилання Lie algebra, reductive, A.L. Onishchik, in Encyclopaedia of Mathematics, ISBN 1-4020-0609-8, SpringerLink