Проєктивний модуль — важливий тип модулів, що є узагальненням вільних модулів. З точки зору теорії категорій, проєктивні модулі є окремим випадком проєктивних об'єктів.
Визначення Проєктивний модуль можна визначити кількома еквівалентними способами.
Модуль над кільцем (як правило, вважається асоціативним з одиничним елементом), називається проєктивним, якщо для будь-якого гомоморфізма і епіморфізма існує такий гомоморфізм , що , тобто дана діаграма є комутативною:
Модуль є проєктивним тоді і тільки тоді, коли існує такий модуль , що пряма сума є вільним модулем. Справді, нехай є компонентою прямої суми , яка є вільним модулем, і — гомоморфізм, a — епіморфізм. Тоді теж є гомоморфізмом ( — проєкція прямої суми на перший доданок ), а так як вільні модулі є проєктивними, то існує гомоморфізм , такий, що , звідси , де — гомоморфізм включення , звідси
Навпаки, нехай — проєктивний модуль. Кожен модуль є гомоморфним образом вільного. Нехай — відповідний епіморфізм. Тоді тотожний ізоморфізм буде рівним для деякого , так як є проєктивним. Будь-який елемент тоді можна записати як , де є ізоморфним .
є проєктивним тоді і тільки тоді, коли для будь-якого епіморфізма індукований гомоморфізм теж є епіморфізмом. є проєктивним тоді і тільки тоді, коли він переводить будь-яку коротку точну послідовність в точну послідовність . Модуль є проєктивним тоді і тільки тоді, коли кожна коротка точна послідовність модулів виду
розщеплюється. Тобто для відображення на діаграмі існує відображення , таке що . У цьому випадку є прямим доданком модуля , є ізоморфізмом із на , а є проєкцією на . Це також можна записати як
Модуль над кільцем є проєктивним тоді і тільки тоді, коли існує множина і множина гомоморфізмів таких що для кожного виконується рівність і fi(x) не рівне нулю лише для скінченної кількості індексів i. Модуль над кільцем є проєктивним тоді і тільки тоді, коли для всіх R-модулів T функтор Ext задовольняє умову (і тому )
Властивості Пряма сума модулів є проєктивним модулем тоді і тільки тоді, коли кожен доданок є проєктивним. Будь-який проєктивний модуль над кільцем головних ідеалів або локальним комутативним кільцем є вільним модулем. Будь-який проєктивний модуль є плоским. Локалізація проєктивного модуля над комутативним кільцем є проєктивним модулем над локалізованим кільцем. Оскільки проєктивний модуль над локальним кільцем є вільним то локалізація кільця модуля по всіх простих ідеалах є вільним модулем. Також ця властивість описується так, що проєктивний модуль є локально вільним.
Приклади
Найпростіший приклад проєктивного модуля — вільний модуль . Справді, нехай — елементи базису модуля і . Оскільки — епіморфізм, можна знайти такі , що . Тоді можна визначити, задавши його значення на векторах базису як . Для кілець многочленів від кількох змінних над полем будь-який проєктивний модуль є вільним. У кільці Дедекінда кожен ідеал, що не є головним є проєктивним модулем і не є вільним модулем. Абелева група є проєктивним модулем тоді і тільки тоді, коли вона є вільною.
Див. також Лема Шаунеля Вільний модуль Ін'єктивний модуль Проєктивний об'єкт
Література