Фільтр Чебишова — один із типів лінійних чи цифрових фільтрів, особливістю якого є крутіший спад амплітудно-частотної характеристики (АЧХ) та значні пульсації амплітудно-частотної характеристики на частотах смуг пропускання (фільтр Чебишова I роду) та затримання (фільтр Чебишова II роду), ніж у фільтрів інших типів. Фільтр отримав назву на честь відомого російського математика XIX століття Пафнутія Львовича Чебишова, оскільки характеристики цього фільтра ґрунтуються на многочленах Чебишова.
Фільтри Чебишова зазвичай використовують там, де необхідно за допомогою фільтра невеликого порядку забезпечити необхідні характеристики АЧХ, особливо, хороше затримання частот зі смуги затримання, та при цьому гладкість АЧХ на частотах смуг пропускання та затримання не надто важлива.
Розрізняють фільтри Чебишова I та II родів. Фільтри Чебишова I роду зазвичай називають «фільтрами Чебишова», а фільтри II роду — «інверсними фільтрами Чебишова». Через пульсації пропускання, властиві фільтрам Чебишова, для певних застосувань перевагу надають фільтрам з плавнішим відгуком у смузі пропускання, але нерівномірнішим відгуком у смузі затримання.
Фільтр Чебишова I роду
Ця модифікація фільтрів Чебишова зустрічається частіше. Характеризується коливаннями АЧХ у смузі пропускання. Аналітично АЧХ такого фільтра -го порядку задається таким виразом:
де — показник пульсацій, — частота зрізу, — многочлен Чебишова -го порядку.
У смузі пропускання такого фільтра існують пульсації, амплітуда яких визначається показником пульсації () . У смузі пропускання многочлени Чебишова набувають значень від 0 до 1, тому коефіцієнт підсилення фільтра набуває значень від максимального до мінімального На частоті зрізу коефіцієнт підсилення має значення а на частотах вищих від неї продовжує зменшуватися зі збільшенням частоти. (Примітка: звичайне визначення частоти зрізу як частоти, де модуль коефіцієнта передавання знижується на 3 дБ, в разі фільтра Чебышова не застосовується).
Для аналогового електронного фільтра Чебишова його порядок дорівнює числу реактивних компонентів (наприклад, індуктивностей та/або конденсаторів), використаних для його реалізації.
Пульсації в смузі пропускання часто задають у децибелах:
Пульсації в дБ =
Наприклад, пульсації з амплітудою 3 дБ відповідають
Крутіший спад АЧХ можна отримати, якщо допустити пульсації не тільки в смузі пропускання, але й у смузі затримання, додавши у передавальну функцію фільтра нулі на уявній осі комплексної площини. Це, однак, призведе до менш ефективного затримання в смузі затримання. Отриманий у такий спосіб фільтр є , також відомим як фільтр Кауера.
Полюси та нулі
Для спрощення формул приймемо частоту зрізу фільтра рівною одиниці. Полюси фільтра Чебишова є нулями виразу в його знаменнику. Використовуючи комплексну частоту отримаємо:
Представивши і використовуючи тригонометричне подання многочленів Чебишова, отримаємо:
Звідси знаходимо
Тоді полюси фільтра Чебишова визначаються з такого виразу:
Використовуючи властивості тригонометричних та гіперболічних функцій, запишемо останній вираз у комплексній формі:
де
Цей вираз можна розглядати як параметричне рівняння з параметром Воно показує, що полюси лежать на еліпсі в -площині, причому центр еліпса міститься в точці піввісь дійсної осі має довжину а піввісь уявної осі має довжину
Передатна функція Рівняння, виведене вище, містить полюси, що стосуються комплексного коефіцієнта підсилення фільтра Для кожного полюса є комплексно-пов'язаний із ним полюс, а для кожної комплексно-пов'язаної пари полюсів є два полюси, що відрізняються від них тільки знаком дійсної частини. Передатна функція має бути стійкою, що означає, що її полюси повинні мати від'ємну дійсну частину, тобто лежати в лівій півплощині комплексної площини. Передатна функція в цьому випадку задається таким виразом:
де — це ті полюси, які мають від'ємну дійсну частину.
Групова затримка
визначається як мінус похідна за частотою зсуву фази фільтра і є мірою спотворення фази сигналу на різних частотах:
Фазові характеристики
Фазові характеристики фільтра Чебишова I роду — фазо-частотну характеристику (ФЧХ) та — наведено на малюнку. Фазочастотна характеристика показує розподіл за частотою зсуву фази вихідного сигналу відносно вхідного. Фазова затримка визначається як частка від ділення фази фазо-частотної характеристики на частоту і характеризує розподіл за частотою часового зміщення вихідного сигналу відносно вхідного:
Часові характеристики
Часові характеристики фільтра Чебишова I роду — імпульсну перехідну функцію та перехідну функцію — наведено на малюнку. Імпульсна перехідна функція є відгуком фільтра на вхідний сигнал у вигляді дельта-функції Дірака, а перехідна функція — відгук фільтра на вхідний вплив у вигляді одиничної функції Гевісайда.
Фільтр Чебишова ІІ роду
Фільтр Чебишова II роду (або інверсний фільтр Чебишова) використовують рідше, ніж фільтр Чебишова I роду, через менш крутий спад амплітудної характеристики, що призводить до збільшення кількості електронних компонентів для реалізації аналогового електронного фільтра із заданою крутістю спаду. У нього немає пульсацій у смузі пропускання, проте пульсації є у смузі затримання. Амплітудно-частотна характеристика такого фільтра задається виразом:
У смузі затримання многочлени Чебишова набувають значення в діапазоні від 0 до 1, тому амплітудна характеристика такого фільтра набуває значень від нуля до
Найменшою частотою, за якої досягається максимум АЧХ, є частота зрізу Параметр пов'язаний зі загасанням у смузі затримання в децибелах таким виразом:
Для згасання на частотах смуги затримання 5 дБ: для загасання 10 дБ:
Частота є частотою зрізу.
Частота згасання на 3 дБ пов'язана з таким виразом:
Полюси та нулі
Прийнявши частоту зрізу рівною одиниці, отримаємо вираз для полюсів фільтра Чебишова:
Полюси фільтра Чебишова ІІ роду являють собою «інверсію» полюсів фільтра Чебишова І роду:
де
Нулі фільтра Чебишова II роду визначаються з такого співвідношення:
Нулі фільтра Чебишова ІІ роду є «інверсією» нулів многочленів Чебишова:
де
Передатна функція Передатна функція задається за допомогою полюсів у лівій півплощині комплексної площини, її нулі збігаються з нулями модуля амплітудної характеристики, з тією лише відмінністю, що їх порядок дорівнює 1.
Групова затримка
Амплітудно-частотну характеристику та групову затримку показано на графіку. Можна бачити, що пульсації амплітуди лежать у смузі затримання, а не в смузі пропускання.
Фазові характеристики
Фазові характеристики фільтра Чебишова ІІ роду — фазо-частотну характеристику та фазову затримку — наведено на малюнку. Фазочастотна характеристика показує залежність від частоти фазового зсуву вихідного сигналу відносно вхідного. Фазова затримка визначається як частка від ділення фазового зсуву на частоту і характеризує частотну залежність часового запізнення вихідного сигналу відносно вхідного.
Цифрові фільтри Чебишова Фільтри Чебишова часто реалізують у цифровій формі. Для того, щоб від аналогового фільтра перейти до цифрового, необхідно над передатною функцією кожного каскаду, записаною для аналогового фільтра, здійснити . Результуючий фільтр отримуємо послідовним з'єднанням каскадів.
Для отримання фільтра Чебишова вищого порядку необхідно з'єднати послідовно кілька каскадів.
Порівняння з іншими лінійними фільтрами
На малюнку наведено графіки АЧХ фільтра Чебишова І та ІІ родів із пульсаціями в смузі пропускання або смузі затримання рівними 0,1 у порівнянні з деякими іншими часто використовуваними фільтрами 5-го порядку.
За графіками видно, що амплітудно-частотні характеристики фільтрів Чебишова мають крутіший спад, ніж спад у фільтрів Баттерворта, але не такий крутий спад, як у еліптичного фільтра.
Примітки
Література