Теорема Гопфа — Рінова стверджує, що для лінійно зв'язного ріманового многовиду наступні твердження еквівалентні:
— є повним метричним простором; Для деякої точки експоненційне відображення визначено для всіх векторів у (де — дотичний простір до в точці ); Простори з такими властивостями називаються геодезично повними; Кожна множина, обмежена і замкнута в , є компактною.
Наслідки Будь-які дві точки p і q в лінійно зв'язному повному рімановому многовиді можна з'єднати геодезичною лінією довжина якої рівна відстані між p і q; Будь-яка геодезична в лінійно зв'язному повному рімановому многовиді є необмеженою, тобто визначена для всіх дійсних чисел.
Приклади Сфера , евклідовий простір і гіперболічний простір є геодезично повними; Всі компактні зв'язані ріманові многовиди є геодезично повними; Метричний простір з метрикою інкукованою звичайним скалярним добутком не є геодезично повним. Зокрема точки і не зв'язані жодною геодезичною лінією в .
Узагальнення Теорема Гопфа — Рінова вірна для просторів з внутрішньою метрикою, не обов'язково рімановою (наприклад, фінслерових): якщо — локально компактний повний метричний простір з внутрішньою метрикою, то будь-які дві точки простору можна з'єднати найкоротшою лінією. Теорема Гопфа — Рінова не вірна в нескінченновимірних просторах зокрема дві точки скінченновимірного повного Гільбертового многовиду можуть не бути сполученими жодною геодезичною лінією. . Твердження теореми також неправильне для псевдоріманових многовидів зокрема многовидів Лоренца..
Примітки
Література Громол Д., Клингенберг В., Мейер В., Риманова геометрия в целом, пер. с нем., М., 1971; Кон-Фоссен, Некоторые вопросы дифференциальной геометрии в целом, М., 1959. Jost, J., Riemannian Geometry and Geometric Analysis. Springer-Verlag, Berlin 2002, ISBN 3-540-42627-2. Manfredo Perdigao do Carmo: Riemannian Geometry. Birkhauser, Boston 1992, ISBN 0-8176-3490-8.