Фо́рмула Брамагу́пти () — математична формула, яка виражає площу вписаного у коло чотирикутника як функцію довжин його сторін.
Якщо вписаний у коло чотирикутник має довжини сторін і півпериметр , то його площа виражається формулою:
Варіації й узагальнення Формула Брамагупти узагальнює формулу Герона для визначення площі трикутника на випадок вписаного у коло чотирикутника: достатньо вважати, що довжина однієї із сторін дорівнює нулю (наприклад, ) і формула Брамагупти зводиться до формули Герона. На випадок довільних чотирикутників формула Брамагупти може бути узагальнена так:
де — півсума протилежних кутів чотирикутника. Яку саме пару протилежних кутів взяти, ролі не відіграє, так як якщо півсума однієї пари протилежних кутів дорівнює , то півсума двох інших кутів буде , і .
Інколи цю загальнішу формулу записують так:
,
де и — довжини діагоналей чотирикутника.
Математик Девід П. Роббінс () довівD. P. Robbins Areas of polygons inscribed in a circle. // Discrete & Computational Geometry — 12, 1994 — P. 223—236., що для довільного вписаного многокутника з сторонами величина є коренем деякого многочлена , коефіцієнти якого у свою чергу є многочленами від довжин сторін. Він знайшов ці многочлени для та . Іншими авторами встановлено, що многочлен можна обрати так, щоб його старший коефіцієнт дорівнював одиниці, а степінь дорівнював , при і , якщо . Тут
де — біноміальні коефіцієнти. Для многокутників з невеликим числом сторін маємо , , , () і , , , ().
Якщо у формулі Брамагупти виразити півпериметр через півсуму усіх сторін даного чотирикутника, піднести обидві частини до квадрату, помножити на -16, розкрити дужки та звести подібні, то вона набуде вигляду:
Права частина рівняння буде збігатись з розкладом визначника, поданого нижче, якщо його помножити на -1. Тому можна написати, щоСтариков В. Н. Заметки по геометрии // Научный поиск: гуманитарные и социально-экономические науки: сборник научных трудов. Выпуск 1/ Гл. ред. Романова И.В. Чебоксары: ЦДИП «INet», 2014. С. 37-39
Див. також Брамагупта Теорема Брамагупти
Примітки
Джерела