Глюонне поле — 4-векторне поле в теоретичній фізиці елементарних частинок, що описує еволюцію глюонів та задає сильну взаємодію між кварками. Воно відіграє таку роль у квантовій хромодинаміці (КХД), як електромагнітний 4-потенціал у квантовій електродинаміці (КЕД).
Вступ Глюон може мати 8 колірних зарядів, тому існує 8 глюонних полів, на відміну від фотонів, які є нейтральними і тому у фотона тільки одне поле. Глюонні поля для кожного колірного заряду мають «часоподібну» компоненту аналогічну до електричного потенціалу і три «простороподібні» компоненти аналогічні векторному магнітному потенціалу.
де не є показником степеня, а нумерує вісім колірних зарядів глюона; всі компоненти залежать від радіус-вектора глюона r і часу t. — поле скалярів, для деяких компонент часопростору і колірного заряду глюона. матриці Гелл-Манна — вісім матриць 3 × 3, які формують матричне подання групи SU(3). Вони також є генераторами групи SU(3) в контексті квантової механіки і теорії поля; генератор можна розглядати як оператор, що відповідає перетворенню симетрії (див. симетрія у квантовій механіці). Ці матриці відіграють важливу роль в КХД, оскільки КХД – калібрувальна теорія, побудована на групі симетрії SU(3). Кожна матриця Гелл-Манна відповідає конкретному колірному заряду глюона. Генератори групи також можуть слугувати базисом векторного простору, так що загальне глюонне поле є суперпозицією всіх колірних полів. З точки зору матриць Гелл-Манна компоненти глюонного поля представлені матрицями 3 × 3, визначаються формулою:
Або, зібравши компоненти в вектор з чотирьох 3 × 3 матриць,
Глюонне поле:
Калібрувальні перетворення
Калібрувальні перетворення кожного глюонного поля , що не змінюють тензор напруженості глюонного поля:
де
є матрицею 3 × 3 . — вісім калібрувальних функцій, залежних від радіус-вектора і часу t. Калібрувальна коваріантна похідна перетворюється ідентично. Функції тут аналогічні калібрувальній функції при зміні електромагнітного потенціалу в компонентах простору-часу:
Кваркове поле є інваріантним щодо калібрувальних перетворень
Тензор напруженості глюонного поля Тензор напруженості глюонного поля є тензорним полем другого рангу в просторі-часі, яке характеризує взаємодію між кварками та глюонами.
Компоненти тензора
де — калібрувальна коваріантна похідна , в якій:
— уявна одиниця; — стала зв'язку сильної взаємодії; — матриці Гелл-Манна поділені на 2; — індекс кольору, який може набувати значень від 1 до 8; — індекс простору-часу, 0 для часоподібних компонент і 1, 2, 3 для простороподібних компонент;
— її чотири компоненти, які при фіксованому калібруванні є функціями, результатом яких є ермітові матриці 3×3 ; * — 32 функції, результатом яких є дійсні значення, по 4 компоненти для кожного з восьми векторних полів.
Розклад комутатора дає:
Підставивши і використавши співвідношення для матриць Гелл-Манна (з перепозначенням індексів), в яких — структурні константи SU(3), кожна компонента напруженості глюонного поля може бути виражена як лінійна комбінація матриць Гелл-Манна наступним чином:
так що ::
Порівняння з електромагнітним тензором
Тензор глюонного поля дуже схожий на тензор електромагнітного в КЕД;
Основна відмінність між КХД і КЕД полягає в тому, що напруженість глюонного поля має додаткові умови, які спричиняють взаємодію між глюонами і асимптотичну свободу. Це ускладнює сильні взаємодії, спричиняючи їхню нелінійність, на відміну від лінійної теорії електромагнітної взаємодії. Операції в КХД не комутативні, що робить відповідну лінійну алгебру нетривіальною.
Густина лагранжіана в КХД
Густина лагранжіана безмасових кварків, зв'язаних глюонами:
де tr — слід матриці 3×, а — гамма-матриці Дірака.
Рівняння руху
Рівняння для тензора напруженості глюонного поля — рівняння Янга-Міллса для глюонів та кварків
.
Аналогічно до електричного струму, який є джерелом електромагнітного тензора, струм колірного заряду є джерелом тензора напруженості глюонного поля і задається рівняннями:
Колірний струм є постійним, оскільки колірний заряд зберігається. Отже, колірний 4-струм повинен задовольняти рівняння неперервності:
Див. також
Глюон Кварк Квантова хромодинаміка Квантова механіка Матриці Гелл-Манна
Посилання
Література
The Large Hadron Collider: Harvest of Run 1 с. 4, 65, 356—357, 359, 361, 412, 419, 518 Опубликована монография по результатам LHC Run 1