Нега-позиційна система числення — це позиційна система числення з від'ємною основою. Особливістю таких систем є відсутність знака перед від'ємними числами, тобто відсутність правил знаків. Будь-яке число будь-якої з нега-позиційних систем, відмінне від 0, з непарним числом цифр — додатне, а з парним числом цифр — від'ємне. Часто число в нега-позиційній системі вимагає для запису на одну цифру більше, аніж те ж саме число в системі з позитивною основою. Зазвичай назва нега-позиційної системи складається з префікса нега- і назви відповідної системи числення з додатною основою;
Наприклад, нега-десяткова (b = -10), нега-трійкова (b = -3), нега-двійкова (b = -2) та інші.
Приклади {| class="wikitable"
! Нега-позиційний запис ! Позиційний запис ! Подання числа |- | 174(-10) | 34(10) | 1·(-10)2 + 7·(-10)1 + 4·(-10)0 = 100 − 70 + 4 = 34 |- | 46(-10) | −34(10) | 4·(-10)1 + 6·(-10)0 = −40 + 6 = −34 |- | 11001(-2) | 1001(2) | 1·(-2)4 + 1·(-2)3 + 0·(-2)2 + 0·(-2)1 + 1·(-2)0 = 16 − 8 + 1 = 9
Історія
Нега-позиційні системи числення вперше були запропоновані у його роботі «Giornale di Matematiche di Battaglini» 23 (стор. 203—221), опублікованій в 1885 році. Грюнвальд описав алгоритми додавання, віднімання, множення, ділення, отримання кореня, ознак подільності й перетворення систем числення.
Використання
Число x у нега-позиційній системі числення з основою b = -r представляється у вигляді лінійної комбінації числа ступенів -r: , де — це цілі числа, які називають цифрами ,що задовольняють нерівності ,де — порядковий номер розряду починаючи з нульового, n — число розрядів. Кожнен ступінь у такому записі називається розрядом, старшинство розрядів і відповідних їм чисел визначається значенням показника . Зазвичай для ненульового числа вимагають, щоб старша цифра у b-річному поданні була також ненульова.
Нега-позиційні системи можна порівняти із знако-розрядними системами числення, такими як симетрична трійкова система, де основа системи додатна, однак цифри можуть приймати від'ємні значення з деякого проміжку.
Деякі числа мають одне й те ж саме подання в системах числення з основою і (позиційних й відповідним їм нега-позиційних). Приміром, числа від 100 до 109 однаково записуються в десятковій і нега-десяткових системах числення. Аналогічно:
Тобто число 17 має однакове представлення в двійковій і нега-двійковій системах числення — .
Подання чисел від -12 до 12 в різних системах числення: ДесятковеНега-десятковеДвійковеНега-двійковеТрійковеНега-трійкове -12 28 -1100 110100 -110 1210 -11 29 -1011 110101 -102 1211 -10 10 -1010 1010 -101 1212 -9 11 -1001 1011 -100 1200 -8 12 -1000 1000 -22 1201 -7 13 -111 1001 -21 1202 -6 14 -110 1110 -20 20 -5 15 -101 1111 -12 21 -4 16 -100 1100 -11 22 -3 17 -11 1101 -10 10 -2 18 -10 10 -2 11 -1 19 -1 11 -1 12 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 2 2 10 110 2 2 3 3 11 111 10 120 4 4 100 100 11 121 5 5 101 101 12 122 6 6 110 11010 20 110 7 7 111 11011 21 111 8 8 1000 11000 22 112 9 9 1001 11001 100 100 10 190 1010 11110 101 101 11 191 1011 11111 102 102 12 192 1100 11100 110 220
Переклад в нега-позиційні системи
Нега-позиційне подання числа може бути отримано послідовними поділами з залишком вихідного числа (тобто на основу нега-позиційної системи) і записом поспіль залишків починаючи з останнього. Зауважимо, що якщо , із залишком , то . Приклад перекладу в нега-трійкову систему:
Отже, нега-трійковим поданням числа 146(10) є число 21102(-3).
Реалізація на C#:static string negaternary(int value) { string result = string.Empty; while (value != 0) { int remainder = value % -3; value = value / -3; if (remainder < 0)
remainder += 3; value += 1;
result = remainder.ToString() + result; } return result; }
Дроби
Арифметичні операції
Додавання
Додавання стовпчиком треба робити як і в звичайній системі, наприклад, якщо ви хочете скласти в нега-десятковій системі числення, то це треба робити як і в десятковій системі числення. Але з одним винятком: якщо при додаванні в будь-якому розряді виходить число не менше 10, то в цей розряд потрібно записати число одиниць отриманого числа, а з сусіднього зліва розряду – відняти одиницю. Якщо зліва немає розряду, то приписати зліва 19 (для нега-десяткової, для нега-трійкової – 12, для нега-двійковій – 11). Наприклад (нега-десяткова система): · · 18115 + 5487 3582 5+7=12, 2 в розряд одиниць, з сусіднього зліва віднімаємо одиницю. 8+5=13, 3 розряд мінус тисяч, з сусіднього зліва віднімаємо одиницю. · 72 + 49 1901 2+9=11, 1 в розряд одиниць, від сусіднього зліва віднімаємо одиницю. 6+4=10, 0 в розряд мінус десятків, сусіднього зліва — немає, приписуємо зліва 19.
Віднімання
Віднімання стовпчиком треба робити як і в звичайній системі, наприклад, якщо ви хочете відняти у нега-десятковій системі числення, то це треба робити як і в десятковій системі числення. Але з одним винятком: якщо при відніманні в якому-небудь розряді треба зайняти десяток, то ви це робите, але з сусіднього зліва розряду ви не віднімаєте одиницю, а, навпаки, додаєте її туди. Якщо зліва немає розряду, то приписати зліва 1. Наприклад (нега-десяткова система):
1 52 - 39 33 2-9 не можна, займаємо одиницю. 12-9=3, 3 в розряд одиниць, до сусіднього зліва розряду додаємо одиницю. 6-3=3. 2 - 9 13 2-9 не можна, займаємо одиницю. 12-9=3, 3 в розряд одиниць, сусіднього зліва розряду немає, тому приписуємо зліва 1.
Множення
Таблиця множення
Таблиця множення в нега-двійковій системі числення
Таблиця множення в нега-двійковій системі числення
×01000101
Таблиця множення в нега-трійковій системі числення
Таблиця множення в нега-трійковій системі числення
2 0 2 121 1 0 1 2 0 0 0 0 х 0 1 2
Таблиця множення в нега-десятковій системі числення
Таблиця множення в нега-десятковій системі числення
1 2 3 4 5 6 7 8 9 2 4 6 8 190 192 194 196198 3 6 9 192 195 198 181 184187 4 8 192 196 180 184 188 172176 5 190 195 180 185 170 175 160165 6 192 198 184 170 176 162 168154 7 194 181 188 175 162 169 156143 8 196 184 172 160 168 156 144132 9 198 187 176 165 154 143 132121
Див. також Знако-розрядна система числення Симетрична система числення