У цьому розділі ми познайомимося з процесом заняття наукою та закладемо основи для розвитку навичок, які будуть корисні протягом усієї вашої наукової кар’єри. Зокрема, ми почнемо вчитися, як перевіряти модель за допомогою експерименту, а також навчимося оцінювати, чи має сенс конкретний результат або модель.

Цілі навчання:

Вміти оцінювати порядок величини. Розуміти одиниці вимірювання. Розуміти процес побудови моделі та проведення експерименту. Розуміти невизначеність вимірювань в експериментах.

Універсальна теорія гравітації Ньютона передбачає, що об’єкти поблизу поверхні Землі падатимуть із прискоренням . Ваш друг повідомляє, що він виміряв прискорення кулі, що падає, та виявив, що воно було рівним . Чи спростовує цей результат передбачення теорії Ньютона?

Так, оскільки інтервал не включає . Не обов’язково, оскільки це залежить від того, чи правильно ваш друг врахував невизначеність у своєму вимірюванні. Однозначно ні, оскільки універсальна теорія гравітації Ньютона була підтверджена багатьма експериментами.

Порядок величини

Хоча ви повинні намагатися боротися з інтуїцією при побудові моделі для опису конкретного явища, не варто відмовлятися від критичного мислення, і варто завжди запитувати, чи передбачення вашої моделі має сенс. Один з найпростіших способів оцінити, чи має модель сенс, полягає у перевірці, чи передбачає вона коректний порядок величини. Зазвичай порядок величини може бути визначений шляхом створення дуже простої моделі, в ідеалі такої, з якою ви можете працювати в умі. Коли ми кажемо, що передбачення дає правильний «порядок величини», ми зазвичай маємо на увазі, що прогноз знаходиться в межах «невеликого» множника (до 10) від коректної відповіді. Наприклад, якщо вимірювання дає значення 2000, то ми вважаємо, що передбачення моделі у 8000 має коректний порядок величини (відповідь відрізняється від правильної у 4 рази), тоді як прогноз у 24000 вважаємо неправильним (відрізняється в 12 разів).

Скільки кульок для пінг-понгу можна помістити в шкільний автобус? Чи відповідає кількість порядку 10 000, чи 100 000, чи більше?

Наша стратегія полягатиме в оцінці об’ємів шкільного автобуса та м’яча для пінг-понгу, а потім розрахунку, скільки разів об’єм м’яча для пінг-понгу вписується в об’єм шкільного автобуса.

Ми можемо змоделювати шкільний автобус як коробку, скажімо , тобто об’єм . Також, ми можемо змоделювати м’яч для пінг-понгу у вигляді сфери діаметром (). При складанні кульок для пінг-понгу ми можемо моделювати їх як маленькі кубики зі стороною, заданою їх діаметром, тому об’єм м’яча для пінг-понгу, при складанні, дорівнює Якщо ми поділимо на використовуючи наукову нотацію: Таким чином, ми розраховуємо вмістити близько трьох мільйонів м’ячів для пінг-понгу в шкільному автобусі.

Заповніть наступну таблицю, вказавши порядок величин (у метрах) розмірів різних фізичних об’єктів. Не соромтеся користуватися Інтернетом!

Об’єкт Порядок величини Протон Ядро атома Атом водню Вірус Клітина шкіри людини Товщина людського волосся Людина 1 m Висота гори Еверест Радіус Землі Радіус Сонця Радіус Чумацького Шляху

+ Відповідь Об’єкт Порядок величини Протон 1 × 10−15 m Ядро атома 1 × 10−14 m Атом водню 1 × 10−10 m Вірус 1 × 10−7 m Клітина шкіри людини 1 × 10−5 m Товщина людського волосся 1 × 10−4 m Людина 1 m Висота гори Еверест 1 × 103 m Радіус Землі 1 × 107 m Радіус Сонця 1 × 109 m Радіус Чумацького Шляху 1 × 1021 m

Одиниці вимірювання та розмірність

У 1999 році марсіанський кліматичний орбітальний апарат NASA зруйнувався у Марсіанській атмосфері через переплутані одиниці, що були використані для розрахунку тяги, потрібної аби сповільнити зонд і розташувати його на орбіті навколо Марса. Комп’ютерна програма, надана приватним виробником, використовувала одиниці фунтів і секунд аби розрахувати зміну імпульсу зонда замість Ньютонів і секунд, очікуваних NASA. Як наслідок, зонд занадто сильно сповільнився та зруйнувався у марсіанській атмосфері. Цей приклад ілюструє необхідність використання і зазначення одиниць, якими ми описуємо властивості фізичної величини, а також демонструє різницю між розмірністю та одиницями.

«Розмірність» можна розглядати як тип вимірювань. Наприклад, довжина та час є розмірностями. Одиниця - це стандарт, який ми обрали для кількісного значення величини. Наприклад, метри та фути - це дві одиниці вимірювання довжини, тоді як секунди та миті — одиниці вимірювання часу.

Коли ми порівнюємо два числа, наприклад, прогноз моделі та результат вимірювання, важливо, щоб обидві величини мали однакову розмірність і виражатися в тих самих одиницях.

Обмеження швидкості на трасі…

має розмірність довжини на час і може бути виражене в одиницях кілометрів на годину. має розмірність довжини та може бути виражене в одиницях кілометрів на годину. має розмірність часу на довжину і може бути виражене в одиницях метрів на секунду. має розмірність часу і може бути виражене в одиницях вимірювання метрах.

Базові розмірності та їх одиниці в системі SI

З метою полегшення комунікації наукової інформації, була розроблена Міжнародна система одиниць (SI, Système International d’unités французською). Вона дозволяє нам використовувати чітко визначену домовленість, які одиниці використовувати при описі кількості. Наприклад, SI одиницею вимірювання довжини є метр, а одиниця SI для часу — секунда.

З метою спрощення системи одиниць SI, був обраний фундаментальний (базовий) набір розмірностей і визначені одиниці SI для цих розмірностей. Будь-яка інша розмірність завжди може бути виражена за допомогою базових розмірностей, наведених у Таблиці Базові одиниці SI, та одиниць, виражених відповідною комбінацією базових одиниць SI.

<span id="tab:modelandexperiment:SIunits"><span>

+ Одиниці SI Розмірність Одиниця SI Довжина [L] метр [m] Час [T] секунди[s] Маса [M] кілограм [kg] Температура [] градуси Кельвіна, [K] Електричний струм [I] Ампер [A] Кількість речовини [N] моль [mol] Сила світла [J] кандела [cd] Безрозмірна без одиниць []

З базових розмірностей можна отримати «похідні» розмірності, такі як «швидкість», яка є мірою того, наскільки швидко рухається об’єкт. Розмірність швидкості - (довжина на час), і відповідні одиниці вимірювання SI - m/s (метри на секунду ). Багато похідних розмірностей мають відповідні похідні одиниці SI, які можуть бути виражені через базові. Таблиця 1.1 показує кілька похідних розмірностей та відповідні одиниці SI, а також те, як ці одиниці отримуються з базових.

+ Приклад похідних розмірностей та їх одиниці SI з абревіатурами. Розмірність Одиниця SI Базові одиниці SI Швидкість [L/T] метр на секунду [m/s] [m/s] Частота [1/Т] герц [Hz] [1/s] Сила [MLT] ньютон [N] [kgms] Енергія [MLT] джоуль [J] [Nm=kgms] Потужність [MLT] ват [W] [J/s=kgms] Електричний заряд [I T] колумб [C] [A s] Напруга [MLTI] вольт [V] [J/C=кгmsA]

За домовленістю, ми можемо вказати розмірність величини, , записуючи її у квадратних дужках, . Наприклад, , буде означати, що величина має розмірність , тобто вона має розмірність електричного струму. Аналогічно, ми можемо вказати одиниці SI величини як . Відповідно до Таблиці Одиниці SI, оскільки має розмірність струму, .

Аналіз розмірностей

Ми називаємо «аналізом розмірностей» процес розрахунку розмірності величини з урахуванням базових розмірностей та прогнозу моделі для цієї величини. Кілька простих правил дозволяють нам легко порахувати розмірність похідної величини. Припустимо, що ми маємо дві величини, та , обидві з розмірностями. Далі ми маємо наступні правила для знаходження розмірності величини, яка залежить від та :

Додавання/віднімання: ви можете додавати або віднімати дві величини, лише якщо вони мають однакову розмірність: Множення: розмірність множення, , є добутком розмірностей: Ділення: розмірність співвідношення, , є співвідношенням розмірностей:

Наступні два приклади показують, як застосовувати аналіз розмірностей для отримання одиниць вимірювання або розмірності похідної величини.

Прискорення має одиниці SI , а сила має розмірність маси, помноженої на прискорення. Яку розмірність та одиниці SI має сила, виражена за допомогою базових розмірностей та одиниць вимірювання?

Ми можемо почати з вираження розмірності прискорення, оскільки ми знаємо з його одиниць SI, що воно повинно мати розмірність довжини на час у квадраті. Оскільки сила має розмірність маси помноженої на прискорення, ми маємо: і одиниці сили SI таким чином: Сила є настільки поширеною розмірністю, що вона, як і багато інших похідних розмірностей, має свою власну похідну одиницю SI, Ньютон [N].

Скористуйтеся Таблицею 1.1 аби показати, що напруга має ту саму розмірність, що й сила, помножена на швидкість і поділена на електричний струм.

Згідно з Таблицею 1.1, напруга має розмірність: тоді як сила, швидкість і струм мають наступні розмірності: Розмірність сили, помноженої на швидкість і поділеної на електричний заряд: де в останньому рядку ми об’єднали степені однакових розмірностей. Це та сама розмірність, що й у напруги.

Коли ви будуєте модель для прогнозування значення фізичної величини, ви завжди маєте використовувати аналіз розмірностей, аби переконатися, що розмірність величини, яку передбачає ваша модель, є коректною.

Ваша модель передбачає, що швидкість, , об’єкта масою , після падіння з висоти на поверхню планети масою і радіусом задається формулою: Чи є раціональним цей прогноз?

По-перше, ми бачимо, що швидкість буде більшою, якщо більша, що має сенс, оскільки ми очікуємо, що швидкість буде більшою, якщо об’єкт впаде з більшої відстані. Аналогічно, ми очікуємо, що швидкість буде вищою, якщо маса планети, , буде більшою, оскільки це надало б більшу силу тяжіння, як і передбачає ця модель. Ми також очікуємо, що об’єкт матиме більшу швидкість, коли він матиме більшу масу, , якщо опір атмосфери планети є значним. Нарешті, якщо радіус планети більший, ми очікуємо, що швидкість буде меншою, оскільки планета буде менш щільною, і буде меншою сила тяжіння на її поверхні. Однак, якщо ми перевіримо розмірність прогнозованого , ми побачимо, що модель не передбачає розмірність швидкості: Натомість наша модель передбачає швидкість з розмірністю маси у квадраті. Виконуючи простий аналіз розмірностей, ми можемо легко підтвердити, що наша модель безумовно неправильна. Ви повинні завжди перевіряти розмірність будь-якого прогнозу моделі, аби переконатися, що він коректний.

У цьому розділі ми надали три правила комбінування розмірностей. Ви могли помітити, що ці правила такі ж самі, як правила алгебри, за винятком того, що використовуються розмірності замість та . Отже, ви можете підійти до задач аналізу розмірностей як просто до задач алгебри.

Існує кілька основних кроків, яких ви можете дотримуватися, коли намагаєтеся знайти одиниці SI для значення/змінної у вашому рівнянні. Я пройдуся по прикладу з силою трохи по-іншому. Скажімо, у вас є рівняння , але цього разу ви знаєте розмірність та і хочете знайти розмірність :

Перепишіть значення/змінні у вашому рівнянні з погляду їх розмірностей, лишаючи всі інші операції (множення, степені тощо) як є: Виразіть невідомий параметр через відомі: Підставте розмірності відомих: Розв’яжіть, використовуючи правила алгебри: (тут ми просто скасували ) Замініть розмірності відповідними одиницями SI:

У теорії Хлої про падіння предметів з Розділу 1, час, , потрібний, щоб об’єкт впав з відстані, , був заданий як .Якими мають бути одиниці SI постійної Хлої, ?

Аналіз розмірностей також може бути використаний для визначення формул (зазвичай у межах порядку величини). Одним відомим прикладом цього є, коли Британський фізик на ім’я Г. І. Тейлор зміг визначити формулу, що показала, як росте з часом радіус вибуху атомної бомби. Використовуючи знімки першого вибуху атомної бомби, він зміг визначити кількість енергії, яка виділяється при вибуху, що на той час було засекреченою інформацією.