Паралелогра́м чи рівнобі́жникРівнобі́жник // Російсько-український словник (1924—1933); УАН під редакцією А. Кримського () — чотирикутник, протилежні сторони якого попарно паралельні, тобто лежать на паралельних прямих.

Існує декілька видів паралелограм Прямокутник — паралелограм, всі кути якого прямі; Ромб — паралелограм, всі чотири сторони якого рівні між собою; Квадрат — рівнобічний прямокутник або ромб з прямими кутами при вершинах.

Паралелограм є плоскою геометричною фігурою, його аналогом у тривимірному просторі є паралелепіпед.

Особливі випадки Ромбоїд — чотирикутник, протилежні сторони якого паралельні, а прилеглі сторони не рівні, а його кути не є прямими кутами. Прямокутник — паралелограм, чотири кути якого рівні (прямі). Ромб — паралелограм, чотири сторони якого є рівними. Квадрат — паралелограм, чотири сторони і чотири кути якого є рівними.

Властивості Простий (не перехрещений) чотирикутник є паралелограмом тоді й лише тоді якщо одне із наведених нижче тверджень є вірним:Owen Byer, Felix Lazebnik and Deirdre Smeltzer, Methods for Euclidean Geometry, Mathematical Association of America, 2010, pp. 51-52.Zalman Usiskin and Jennifer Griffin, «The Classification of Quadrilaterals. A Study of Definition», Information Age Publishing, 2008, p. 22. Протилежні сторони паралелограма рівні, тобто та . Протилежні кути паралелограма рівні, тобто та . Діагоналі паралелограма перетинаються та точкою перетину діляться навпіл. Одна пара протилежних сторін є паралельними і мають однакову довжину. Кожна з діагоналей поділяє чотирикутник на два конгруентні трикутники. Сума кутів, прилеглих до однієї сторони, дорівнює . Загальна сума кутів паралелограма дорівнює . Сума квадратів діагоналей дорівнює подвоєній сумі квадратів двох його суміжних сторін (правило паралелограма). Сума відстаней від будь-якої внутрішньої точки до сторін не залежить від місця розташування точки.Chen, Zhibo, and Liang, Tian. «The converse of Viviani's theorem», The College Mathematics Journal 37(5), 2006, pp. 390—391. (Це твердження є продовженням теореми Вівіані.)

Інші властивості

В паралелограмі дві сторони рівні та паралельні. В паралелограмі протилежні сторони попарно рівні. В паралелограмі протилежні кути попарно рівні. Точка перетину діагоналей є центром симетрії паралелограма. Будь-яка пряма, яка проходить через центр паралелограма поділяє його площу навпіл.Dunn, J.A., and J.E. Pretty, «Halving a triangle», Mathematical Gazette 56, May 1972, p. 105. Сума кутів при кожній стороні становить . В паралелограмі діагоналі перетинаються і точкою перетину діляться навпіл. Діагоналі паралелограма поділяють його на чотири трикутника однакової площі.

Площа паралелограма

Паралелограм із основою b і висотою h можна розділити на трапецію і прямокутний трикутник, і перебудувати у прямокутник, як показано на малюнку праворуч. Це означає, що площа паралелограма є такою ж як у прямокутника із такою ж основою і висотою:

Іншими словами, площа паралелограма дорівнює добутку його сторони на висоту, яка перпендикулярна до цієї сторони:

.

Також площа паралелограма рівна добутку двох його непаралельних сторін та синуса кута між ними:

Якщо розглядати паралелограм як геометричну фігуру, яка побудована на двох векторах та , то площа паралелограма буде дорівнювати модулю векторного добутку цих векторів:

Площа паралелограма (як і будь-якого чотирикутника без самоперетинів) рівна півдобутку діагоналей, помноженому на синус кута між ними: .

Площа паралелограма із сторонами B і C (B ≠ C) і кутом утвореним перетином діагоналей дорівнює наступномуMitchell, Douglas W., «The area of a quadrilateral», Mathematical Gazette, July 2009.

Якщо паралелограм заданий довжинами B і C двох прилеглих сторін і довжиною однієї з діагоналей D1, тоді площу можна знайти за допомогою формули Герона. Що задається наступним чином

де і перший множник 2 додано оскільки, будь-яка обрана діагональ поділяє паралелограм на два конгруентні трикутники.

Площа паралелограма при відомих декартових координатах вершин Нехай існують вектори і нехай позначає матрицю елементів a і b. Тоді площею паралелограма, що заданий за допомогою a і b буде .

Нехай існують вектори і нехай . тоді площа паралелограма, що задана за допомогою a і b буде дорівнювати .

Нехай існують точки . Тоді площа паралелограма із вершинами в точках a, b і c є еквівалентною абсолютному значенню детермінанта матриці, що побудована так, що a, b і c є її рядками і остання колонка доповнена одиницями, як наведено нижче:

Доведення перетину середин діагоналей

Аби довести, що діагоналі паралелограма перетинаються, використаємо конгруентні трикутники: (внутрішні різносторонні кути рівні за розміром) (внутрішні різносторонні кути рівні за розміром).

(оскільки це кути, що утворені перетином прямої із двома паралельними прямими AB і DC).

Також, сторона AB має таку ж саму довжину, що і сторона DC, оскільки протилежні сторони паралелограма є рівними.

Таким чином, трикутники ABE і CDE конгруентні (постулат Кут-Сторона-Кут (КСК), два відповідні кути і прилегла сторона).

Тому,

Оскільки діагоналі AC і BD поділяють одна одну на відрізки однакової довжини, діагоналі перетинають одна одну.

Відповідно, оскільки діагоналі AC і BD перетинають одна одну в точці E, точка E є серединою кожної діагоналі.

Див. також Правило паралелограма Трапеція Паралелограм сил Антипаралелограм

Примітки

Посилання

Eric W. Weisstein, Parallelogram at MathWorld. Геометрія: Підруч. для 7— 9 кл. серед. шк./ Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев та ін. — К.: Освіта, 1993. — 304 с.