Французька залізнична метрика є незвичайним прикладом метрики.
Назва цієї метрики походить від дуже централізовано прокладеної (особливо раніше) залізничної мережі Франції, в якій майже всі шляхи сходилися у Парижі.
Внаслідок цього, наприклад, щоб дістатися залізницею зі Страсбурга до Ліона, треба було зробити гак в 400 км через Париж — доводилося миритися з тим, що немає прямого зв'язку.
Це спонукало одного невідомого математика визначити таку метрику: якщо є деякою множиною точок площини (міста Франції зі залізничним зв'язком через Париж) і — фіксована вибрана точка (Париж), то можна визначити на метрику таким чином:
Тут треба розуміти як відстань залізничним шляхом від міста до міста .
Ця конструкція допускає елементарне узагальнення на будь-який нормований простір.
Властивості У невиродженому випадку, тобто коли існують неколінеарні вектори, французька залізнична метрика — найпростіший приклад метрики, яка не є породженою нормою.
Дійсно, припустимо протилежне. Нехай така норма існує. Візьмемо два неколінеарні вектори і , для яких . Тоді вектори і також неколінеарні, і виконується .
Для метрики , що породжена нормою, ця нерівність порушується:
Отже, не існує норми , яка породжує французьку залізничну метрику в тому сенсі, що .
Назви при p = 0 Для норми на метрикою французького метро називається метрика на , що визначена як.:
Іншими словами, метрика французького метро визначена як довжина найкоротшого шляху з точки x до точки y, якщо x, y і початок координат знаходяться на одній прямій, і довжина найкоротшого шляху з x до y, що проходить через початок координат, у протилежному випадку.
Метрика французького метро збігається з французькою залізничною метрикою в окремому випадку, коли Париж знаходиться у початку координат (p = 0).
Для евклідової норми метрика французького метро називається також паризькою метрикою, метрикою їжака, радикальною метрикою або посиленою метрикою SNCF.
Метрика британської залізниці Для норми на (в загальному випадку на ) метрикою британської залізниці називається метрика на (на ), визначена як , якщо , і як 0 у протилежному випадку. Її називають також метрикою пошти (Post Office metric), метрикою гусениці і метрикою човника.
Іншими словами, у відповідності до метрики британської залізниці доводиться робити гак через початок координат завжди, якщо пункт відправлення не збігається з пунктом призначення.
У Великій Британії метрику британської залізниці (British Rail metric) іноді називають метрикою французького метро.
Приклади {|class="wikitable" style="text-align: center" |- !p !x !y !ФЗМФранцузька залізнична метрика !МФММетрика французького метро !МБЗМетрика британської залізниці (не за тим визначенням, яке використовується у Великій Британії) |- !rowspan="2"|
!rowspan="4"|
Див. також Мангеттенська метрика Відстань Чебишова
Примітки