Великий додекаедр ТипТіло Кеплера — ПуансоЗірчаста формаПравильного додекаедраВластивостіНеопуклий, рівносторонній, правильний зірчастий багатогранник, гране-транзитивний, вершинно-транзитивний.КомбінаторикаЕлементи 12 граней; 30 ребер; 12 вершин (5-го степеня).Грані {p}12 прав. п'ятикутників = 12 {5}.Характеристика ЕйлераКонфігурація вершини (5.5.5.5.5)/2 = (55)/2 Конфігурація грані V(5/2)5Вершинна фігура12 Правильних пентаграм {5/2} :стор.435 ; , з довжиною сторони 3Рід4КласифікаціяПозначення• W21 (в нотації М. Веннінґера) • U35 (як однорідний багатогранник)• C44 (в нотації Г. Коксетера) :стор.435Символ Шлефлі {p, q} {5, 5/2}Діаграма Коксетера — Динкіна (або x5o5/2o)Символ Витгоффа 5/2 | 2 5Група симетріїIh, H3, [5,3], (*532), порядок 120(Повна симетрія правильного ікосаедра)Двоїстий багатогранникМалий зірчастий додекаедр Розгортка Великий додекаедр — один з чотирьох правильних зірчастих багатогранників Кеплера — Пуансо.
Цей багатогранник було відкрито у 1809 році Луї Пуансо ; , а назву йому дав Артур Кейлі в 1859 році.
Він складається з 12 граней — правильних п'ятикутників (шість пар п'ятикутних граней лежать в паралельних площинах), по 5 п'ятикутників у кожній вершині, що перетинаються між собою. Має 12 вершин, кожна з яких є вершиною зірчастого п'ятигранного кута.
Його символ Шлефлі — .
Має центральну ділянку кожної грані у вигляді п'ятипроменевої зірки (пентаграми), «приховану» всередині багатогранника, при цьому зовні видно тільки ділянки граней у вигляді рівнобедрених трикутників. Частина граней, що знаходиться всередині багатогранника відіграє роль плоскої мембрани та не розмежовує внутрішній простір багатогранника.
(опукла оболонка) великого додекаедра, а також розташування його ребер таке ж як і у правильного ікосаедра.
Великий додекаедр має повну симетрію правильного ікосаедра, і отже, всі його елементи симетрії, а саме:
1) має 31 вісь обертової симетрії:
‒ 6 осей 5-го порядку — проходять через протилежні вершини;
‒ 10 осей 3-го порядку — проходять через протилежні точки, в яких перетинаються три грані («вістря тригранних виїмок»);
‒ 15 осей 2-го порядку — проходять через середини протилежних паралельних ребер.
2) має 15 площин дзеркальної симетрії, що проходять через вершину та середину протилежного ребра для кожної грані.
3) має центр симетрії.
Як зірчаста форма додекаедра Діаграма ззірчення правильного додекаедра та грань великого додекаедра на нійЖовтим кольором зображено грань великого додекаедра (частина грані прихована всередині багатогранника)Утворення грані великого додекаедра
Великий додекаедр є другою зірчастою формою правильного додекаедра. Його грані складені з нульового, першого та другого відсіків на діаграмі ззірчення правильного додекаедра.
Великий додекаедр утворюється з правильного додекаедра при продовженні (розширенні) його граней (кожна грань правильного додекаедра розширюється до її взаємного перетину з п'ятьма не суміжними до неї гранями), тобто кожна грань α правильного додекаедра замінюється правильним п'ятикутником, описаним навколо п'ятикутної зірки з ядром α.
Також великий додекаедр є радіально-опуклим зірчастим багатогранником, тобто кожен промінь, що виходить з його центра, перетинає багатогранник лише в одній точці. ; Зв'язок з правильним ікосаедром
Великий додекаедр має таке саме розташування ребер та , як і опуклий правильний ікосаедр, тобто опукла оболонка великого додекаедра є правильним ікосаедром.
Поєднання правильного ікосаедра та великого додекаедра утворює вироджений зірчастий багатогранник .Він має подвоєні (продубльовані) ребра, що і робить його виродженим.
Багатогранник, візуально схожий на великий додекаедр, з довжиною ребра можна отримати з правильного ікосаедра з довжиною ребра , наростивши на його гранях (але не назовні, а всередину тіла), правильні трикутні піраміди, висотою . Фактично відбувається не нарощення пірамід, а видалення їх з тіла ікосаедра. Але отриманий таким чином багатогранник схожий на великий додекаедр тільки візуально, але насправді ним не є, оскільки має додаткові вершини та ребра, що належать цим пірамідам.
Отриманий таким чином багатогранник (з увігнутими пірамідами) топологічно ідентичний до триакіс ікосаедра.
Формули
У всіх формулах нижче: — відношення пропорції «золотого перетину». (). Для великого додекаедра з довжиною ребра :Висота «зірчастої піраміди» над гранню великого додекаедра≈ 0.5257311121Радіус описаної сфери (проходить через всі вершини)≈ 0.951056516 Радіус напіввписаної сфери (дотикається до всіх ребер)≈ 0.809016994Радіус вписаної сфери (дотикається до всіх граней)≈ 0.425325404 Площа поверхні≈ 10.89813792Об'єм≈ 1.545084972Двогранний кут між гранями≈ 1.1071487 рад ≈ 63°26′ 5.81576′′ Центр мас великого додекаедра знаходиться в його геометричному центрі.
Момент інерції суцільного великого додекаедра з масою та довжиною ребра (вісь обертання проходить через протилежні вершини):
Координати вершин Як було зазначено вище, великий додекаедр має таке ж розташування вершин, як і правильний ікосаедр, а отже, вершини великого додекаедра з довжиною ребра та правильного ікосаедра в декартовій системі координат збігаються та мають наступні координати:
При цьому вершини (окрім двох діаметрально протилежних вершин на осі Oz) лежать в двох паралельних площинах (паралельних до площини Oxy), в кожній з яких розташовані як вершини правильного п'ятикутника.
Початок координат збігається з центром багатогранника, що є його центром симетрії та центром вписаної, напіввписаної та описаної сфер.
Вісь Oz збігається з однією з осей симетрії 5-го порядку, а вісь Oy — з однією з осей симетрії 2-го порядку.
Площина Oxz є однією з площин симетрії багатогранника.
Також, великий додекаедр з довжиною ребра в декартовій системі координат має вершини з наступними координатами:
При цьому вершини лежать в чотирьох паралельних площинах (паралельних до площини Oxy), в кожній з яких розташовані як вершини правильного трикутника.
Початок координат збігається з центром багатогранника. Вісь Oz збігається з однією з осей симетрії 3-го порядку, а вісь Oy — з однією з осей симетрії 2-го порядку. Площина Oxz є однією з площин симетрії багатогранника.
Пов'язані багатогранники
Існує чотири неопуклих однорідних багатогранники, що утворені певними ступенями операції зрізання великого додекаедра.
є однорідним неопуклим багатогранником U37, що має діаграму Коксетера — Динкіна та символ Шлефлі t{5,5/2}. Має 24 граней (12 п'ятипроменевих зірок (пентаграм) та 12 правильних десятикутників), 90 ребер та 60 вершин.
утворюється при (ректифікації) великого додекаедра, коли зрізання вершин проводиться до точок, що лежать на серединах ребер багатогранника, тобто ребра початкового багатогранника фактично зникають.Він є однорідним неопуклим багатогранником U36. Має 24 граней (12 п'ятипроменевих зірок (пентаграм) та 12 правильних п'ятикутників), 60 ребер та 30 вершин.
Процес подальшого зрізання призводить до появи зрізаного малого зірчастого додекаедра, що є виродженим однорідним багатогранником. Візуально він виглядає як правильний додекаедр, але має 24 подвійно-накриті грані.
Процес зрізання великого додекаедра завершується (при повному глибокому зрізанні або біректифікації) утворенням двоїстого до нього багатогранника — малого зірчастого додекаедра, коли грані початкового багатогранника зменшуються до точок, тобто фактично зникають. НазваВеликий додекаедрЗрізаний великий додекаедрЗрізаний малий зірчастий додекаедр Малий зірчастий додекаедрДіаграма Коксетера — Динкіна x5o5/2o o5o5/2x o5x5/2o x5x5/2o o5x5/2xСимвол Шлефлі{5,5/2}t{5,5/2}r{5,5/2}t{5/2,5}{5/2,5}Зображення Родина зірчастих форм правильного додекаедра. Зірчасті форми правильного додекаедраТіло ПлатонаТіла Кеплера — ПуансоДодекаедрМалий зірчастий додекаедрВеликий додекаедрВеликий зірчастий додекаедрСимвол Шлефлі {p, q}{5,3}{5/2,5}{5,5/2}{5/2,3}ЗображенняДіаграма зірчастого многогранникаОбертання
Два однорідних з'єднання багатогранників складаються з великих додекаедрів: +З'єднання двох великих додекаедрівЗ'єднання п'яти великих додекаедрів
Додатково Обертання багатогранникаСферична проєкціяРозгорткаМодель багатогранника з дроту Цей багатогранник також можна подати у вигляді сферичної плитки зі щільністю 3. (Одна сферична п'ятикутна грань, обведена синім і заповнена жовтим кольорами) Великий додекаедр можна скласти з паперу, з'єднавши разом 20 правильних трикутних пірамід (без основи). Кожен рівнобедрений трикутник (золотий гномон) в цій розгортці візуально представляє видиму частину правильного п'ятикутника — грані великого додекаедра.
великого додекаедраПросторовими Великого додекаедра є 10 просторових шестикутників.
Див. також
Зірка Александера Зірчастий додекаедр Однорідний зірчастий многогранник
Примітки
Література
Посилання
Nan Ma. «Great dodecahedron {5, 5/2}» Klitzing, Richard. «gad» Однорідні багатогранники та двоїсті до них Stellation and facetting — a Brief History Paper Great Dodecahedron