Опукла поверхня в евклідовому або метричному просторі — будь-яка область (тобто зв'язна і відкрита множина), що лежить на межі опуклого тіла. Поверхню, що є межею опуклого тіла, називають повною опуклою поверхнеюА. Д. Александров, Внутренняя геометрия выпуклых поверхностей. М.; Л.: ОГИЗ, 1948, с. 11..
Приклад Найпростіший приклад опуклого тіла — куля радіуса R в евклідовому просторі , задана рівнянням . Відповідно, сфера — повна опукла поверхня.
З поверхні сфери можна отримати опуклу поверхню необмежено великого діаметра в такий спросіб: достатньо уявити ніби зрізають з кулі-яблука ножем шкуринку — це й буде шукана опукла поверхня, яка може бути як завгодно довгою.
Топологічна будова опуклих поверхонь
Опуклі тіла в евклідовому просторі можуть бути тільки п'яти топологічно різних типів:А. Д. Александров, Внутренняя геометрия выпуклых поверхностей. М.; Л.: ОГИЗ, 1948, с. 377. скінченні опуклі тіла, гомеоморфні кулі; нескінченні опуклі тіла, гомеоморфні півпростору; циліндри, гомеоморфні нескінченному круговому циліндру; шари між паралельними площинами; весь простір.
Тим самим повні опуклі поверхні в евклідовому просторі можуть бути трьох типів: замкнуті поверхні, гомеоморфні сфері; нескінченні поверхні, гомеоморфні площині; циліндричні поверхні, гомеоморфні поверхні нескінченного кругового циліндра.
Кількість топологічно різних типів повних опуклих поверхонь у гіперболічному просторі не скінченна, як в евклідовому просторі, а нескінченна: Опукла поверхня у гіперболічному просторі гомеоморфна області на сфері, і для всякої області на сфері існує гомеоморфна їй повна опукла поверхня у гіперболічному просторі.А. Д. Александров, Внутренняя геометрия выпуклых поверхностей. М.; Л.: ОГИЗ, 1948, с. 360.
Локальна опуклість
Поверхню F називають локально опуклою в точці , якщо існує такий окіл U точки x, що — опукла поверхня.
Для опуклості зв'язної замкненої множини F в необхідно і достатньо локальної опуклості F у всіх точках.
Якщо в (n+1)-вимірний евклідів простір занурено повний в індукованій метриці n-вимірний локально опуклий, суворо опуклий в деякій точці многовид M розмірності тоді M вкладено як межу опуклого тіла і або M — компакт, який обмежує опукле тіло і гомеоморфний сфері , або M гомеоморфний J. van Heijenoort // On locally convex manifolds, Comm. Pure Appl. Math., 1952, v. 5, 223—242..
Нехай в (n+1)-вимірний гіперболічний простір занурено повний в індукованій метриці n-вимірний локально опуклий, локально опорний на орисфери многовид M розмірності тоді M вкладено як межу опуклого тіла і або M — компакт, який обмежує опукле тіло і гомеоморфний сфері , або M — орисфераО. А. Борисенко, Д. І. Власенко // Опуклі поверхні простору Лобачевського, МАГ, 1997, т. 4, вип. 3, 278—285..
Див. також Локально опуклий простір
Примітки