Кабельна теорія дендритів (також Кабельна теорія Ролла або Модель Ролла) - це множина припущень та результатів, які відносяться до поширення та взаємодії електричних сигналів в дендритних деревах. Ця теорія була розроблена в 1959 році американським математиком та нейрофізіологом Вілфредом Роллом для пояснення впливу електротонічних властивостей та морфології дендритів на нейрони.

Історія

Розуміння електротонічних властивостей нейрону виникло в 19 ст., як результат об'єднання теорій поширення струму в нервових клітинах та м'язах із кабельною теорією, яка описувала поширення електричного струму на далеких відстанях через кабелі на дні океану. Відтак, «електротонічні властивості» нейронів часто називають «кабельними властивостями». Основи кабельної теорії заклав англійський фізик Вільям Томсон (Лорд Кельвін), який в 1855 представив Королівському Товариству математичний аналіз загасання сигналу в трансатлантичному телефонному кабелі між Америкою та Англією, що тоді планували прокладати. Підводний кабель є схожим за своїми властивостями до нервового волокна. Він має струмопровідні серцевини, покриті ізолюючою оболонкою, та оточений морською водою. (Так само і нейрони знаходяться в соляному розчині, який містить електрично заряджені частинки (іони), що генерують електричний потенціал і рухаються у відповідь на потенціали). Але, позаяк ізоляція кабелю не є досконалою, то існує конечний опір витоку через ізолятор. Головна кількісна різниця між кабелем і нейроном в тому, що кабельні жили зроблені з міді, що є набагато кращим провідником, аніж соляний розчин нейрону, а також кабельне покриття є значно кращим ізолятором, аніж мембрана клітини. Тому сигнали в кабелі, на відміну від нейрону, можуть поширюватись на далекі відстані без суттєвого загасання.

Кабельна теорія вперше була математично застосована до нервової системи наприкінці 19 ст. для опису електричного струму через нервові волокна. У 1940-х рр. Алан Годжкін та ін. застосували кабельну теорію до аксонів безхребетних (краба і кальмара), тим самим започаткувавши математичний опис та моделювання нейронів. Однак застосування кабельної теорії до дендритів вважалось математично неможливим в зв'язку з їх складною розгалуженою структурою. Лише в 1960-х і 1970-х рр. математик та нейронауковець Вілфрід Ролл із Національних інститутів здоров'я в серії статей, показав, як ця проблема може бути вирішена за допомогою використання методу обчислювального компартментного моделювання (compartmental modeling) і він же вперше застосував кабельну теорію для опису інтегративних функцій дендритів, заклавши основи обчислювальної нейронауки. В ті часи вважалось, що дендрити є настільки електротонічно довгими, що будь-які вхідні імпульси до них не можуть суттєво впливати на електричні властивості соми. Втім, поєднавши математичну кабельну теорію та ті незначні фізіологічні дані, які в той час існували, Ролл переконливо показав, що класичні уявлення про дендрити суттєво недооцінюють їх значний внесок у нейронні обчислення та передачу інформації.. Створені Роллом моделі дозволили побудувати єдину математичну теорію дендритних функцій, яка в поєднанні з математичними моделями генерації синаптичних потенціалів та потенціалу дії забезпечила цілісній теоретичний опис нейронної активності.

Кабельна теорія Ролла Основні припущення теорії Фундаментальним законом, що описує поширення електротонічного струму по дендриті є просте рівняння закону Ома:

Математичний опис проходження струму по дендритах ґрунтується на кількох базових припущеннях: Мембрана в кабельній теорії є пасивною (незалежна від напруги) та однорідною, тоді як реальні дендрити кори володіють нелінійними мембранними каналами. Входами до кабелю є струми, які лінійно сумуються, на відміну від змін в синаптичній провідності мембрани, які не сумуються лінійно. Електротонічний струм зазнає впливу двох різних опорів: внутрішнього (або осьового) та мембранного опору. Для простоти опису пасивного поширення потенціалу, при сталому вході до кабелю або дендрита із однорідним потенціалом спокою (), і ємність можуть бути проігноровані. Відтак, струм тільки ділиться на кожній точці проходження через дві лінії опору: осьового і мембранного. Оскільки, як відомо, додання паралельних опорів зменшує загальний опір, то осьовий опір є обернено пропорційним діаметру кабелю або дендрита,

де є осьовий опір на одиницю довжини (в Ω·см осьової довжини) і  — площа поперечного перерізу (). Тому товщий циліндр або дендрит має менший осьовий опір, аніж тонший. Відтак, припускаючи що осьовий опір є однорідним по всьому кабелю або дендриті, він може бути виражений як

де  — питомий осьовий або внутрішній опір (в Ω·см осьової довжини). Це є одним із ключових положень кабельної теорії. Дендрити є тонкими трубочками, огорнутими мембраною, яка є відносно хорошим електричним ізолятором щодо опорів від внутріклітинної серцевини або зовніклітинної рідини, тому зміни потенціалу в радіальних чи осьових напрямках є незначними у порівнянні із поздовжніми змінами. Через цю різницю в мембранному та осьовому опорі, для короткої довжини дендриту, електричний струм всередині серцевини кабелю (core conductor) проходить паралельно до осі циліндра (вздовж осі ). Саме тому класична кабельна теорія розглядає тільки один просторовий вимір () вздовж кабелю, ігноруючи та виміри. Іншими словами, ключове припущення одновимірної кабельної теорії полягає в тому, що мембранний потенціал вздовж нейронного кабелю виражається як функція однієї поздовжньої просторової координати і часу .

Слід, звісно, мати на увазі, що реальні дендрити — це не порожні циліндри і вони є тривимірними. Наявність цитоскилетних елементів, органел збільшить ефективний внутрішній опір, або осьовий опір, тим самим впливаючи на поширення електротонічних сигналів.

Еквівалентний циліндр

Кабельна модель дендритів (кабельну модель нейрону див., напр., в англомовній статті, чи більш детально в,,) математично значно складніша, аніж аксонів, оскільки їх відносно мала довжина є ключовим фактором для побудови електротонічних властивостей. Для того, аби подолати цю складність, лінійна кабельна теорія трактує кожен сегмент дендриту, як кабель або циліндр, оточений пасивною мембраною і який має постійний радіус, по якому поширюється електротонічний потенціал, що дозволяє моделювати його через омічну провідність паралельну з ємністю. Оскільки всередині дендритного дерева нема петель і дендритні гілки не зв'язані між собою безпосередньо, то вони можуть розглядатись, як справжні дерева в розумінні теорії графів, із одиничним шляхом між будь-якими двома точками на дереві. Проходження струму в таких деревах описується лінійним одновимірним пасивним кабельним рівнянням (диференціальне рівняння з частинними похідними)

де  — різниця потенціалів вздовж мембрани,  — це просторова стала (стала довжини) нервового волокна, що виражає відстань, після проходження якої потенціал зменшується до 1/ своєї вихідної амплітуди (тобто, до 37% від первинного значення);  — мембранний опір (в Ω·см);  — це мембранна часова стала, а (в Ф/см) — мембранна ємність. Математична складність полягала у вирішенні цього рівняння для довільних дендритних структур. Знайдене Роллом аналітичне рішення дозволило йому показати суттєвий вплив дендритів на електричну поведінку нейронів.

Кабельне рівняння скінченного кабелю є справедливим для будь-якого нерозгалуженого циліндричного сегмента зі сталими мембранними властивостями та сталим діаметром. Однак чи можна використати це рівняння для вивчення потенціалу в двох чи більше поєднаних разом сегментах? Оскільки те, яким чином сегменти скінченного кабелю з'єднані, залежить від належного вибору граничних умов для кожного сегмента, то припустимо, нехай три гілки мають електротонічні довжини , і , із нескінченними вхідними опорами , і . Як відомо з кабельної теорії, нескінченний вхідний опір скінченного кабелю рівний вхідному опору напівнескінченного кабелю такого самого діаметра і має такі самі значення та , та обчислюється відповідно до (1) Для простоти припустимо, що дві самі крайні гілки закінчуються запечатаними кінцями (граничні умови), тобто осьовий струм не проходить в кабель. Вхідні опори двох самих крайніх дочірніх гілок в точці розгалуження, дивлячись в бік їх кінців, задаються через рівняння вхідного опору для нескінченного кабелю як (2) та (3) Права сторона головного кабелю закінчується в точці розгалуження із двома дочірніми кабелями. Його навантажувальний опір визначається вхідними опорами дочірніх гілок, з огляду на той факт, що повна провідність двох паралельних провідностей рівна їх сумі. Інакше кажучи, ми обчислюємо навантажувальний опір, ефективно замінюючи дві провідності дочірніх гілок однією. Тоді ефективний навантажувальний опір головного кабелю визначається через (4) Нарешті, використовуючи кабельні рівняння для напруги та вхідного опору в скінченному кабелі, вхідний опір на лівому кінці головної гілки (дивлячись в бік дочірніх гілок) визначається через (5) Цей алгоритм може бути рекурсивно застосований для обчислення вхідного опору довільних пасивних дерев і в такий спосіб дозволити точно обчислити вхідний опір на будь-якій точці дерева, в чому й полягало одне із важливих досягнень Ролла.

Після обчислення вхідного опору в будь-якому конкретному місці на дендритному дереві, ми можемо вивести усталену напругу в даному місці у відповідь на поданий струм використовуючи закон Ома. До прикладу, напруга в точці в батьківському кабелі буде (6) З урахуванням і використовуючи кабельне рівняння для напруги в скінченному кабелі, ми можемо обчислити зміну напруги будь-де вздовж головної гілки у відповідь на подачу усталеного струму . Тоді, якщо, наприклад, батьківський кабель постачає струм до двох дочірніх гілок і нам потрібно дізнатись, яка частка цього струму буде йти в один кінець, а яка частка  — в інший, то використовуючи рівняння закона Ома для дискретного кабелю, вхідний опір в напівнескінченному кабелі та нейманівські граничні умови, ми можемо обчислити струм в одному дочірньому кабелі (припускаючи, що його кінець запечатаний, хоча це й не обов'язково),

(7) де  — напруга в точці розгалуження. В цій точці, (для дочірньої точки), і струм, що протікає в цій гілці, визначається через (8) Оскільки той самий принцип застосовується до другої дочірньої гілки і є справедливим для довільної граничної умови, то звідси слідує, що (9) де і так само для Іншими словами, струм розподіляється між цими гілками відповідно до їх вхідних провідностей.

Пізніше Ролл знайшов ще більш простий і вишуканий спосіб виведення потенціалу в розгалуженому дереві, який став вершиною його кабельної теорії дендритів Обчислимо розподіл напруг в простому дереві (див. малюнок), припускаючи, що дві дочірні гілки є ідентичними (тобто, і з однаковими параметрами мембрани) і що усталений струм подається в лівий кінець батьківського циліндра. Нормований рівень напруги через це мінідерево показаний на малюнку для трьох різних комбінацій діаметрів батьківських і дочірніх гілок: (1) , (2) і (3) Верхня і нижня криві вказують два граничні випадки, в яких батьківський кабель є обмеженим з правого кінця або із «граничними умовами для запечатаного кінця» або в короткому замиканні. У випадках, коли ж батьківський кабель в діаметрі більший удвічі від дочірніх гілок, або має той самий розмір, то, як видно на малюнку, матимемо розрив в похідній напруги в точці розгалуження.

У третьому випадку, всі похідні рівня напруги є неперевними і відбувається цікава річ: на відміну від інших двох випадків, падіння напруги вздовж обох ліній кабелів може бути описане одним виразом. Для пояснення цього феномену скористаємось кабельним рівнянням, що описує напругу в скінченному кабелі довжини з довільними вихідними умовами, визначеними через навантажувальний опір :

(10)

Оскільки обидва дочірні кабелі є ідентичними і, відтак, мають ідентичний вхідний опір, (рівн. 2 та 3), то із рівняння 4 слідує, що поєднані вхідні опори обидвох кабелів є (11)