Тензорний аналіз — узагальнення векторного аналізу, розділ тензорного числення, що вивчає диференційні оператори, котрі діють на алгебрі тензорних полів , що диференціюється . Розглядаються також оператори, що діють на загальніші, ніж тензорні поля, геометричні об'єкти: тензорна густина, диференціальні форми зі значеннями у векторному розшаруванні і т.д.
Найбільший інтерес представляють оператори, дія яких не виводить за межі алгебри .
1) Коваріантна похідна уздовж векторного поля — лінійне відображення простору векторних полів від , залежне від векторного поля і яке задовольняє умовам:
де , , , , — гладкі функції на . Зв'язність і паралельне перенесення, що визначаються цим оператором, дозволяють розповсюдити дію коваріантної похідної до лінійного відображення алгебри в себе; при цьому відображення є диференціюванням, зберігає тип тензорного поля і перестановочне зі згорткою.
В локальних координатах коваріантна похідна тензора з компонентами щодо вектора визначається так:
— об'єкт зв'язності .
2) Похідна Лі уздовж векторного поля — відображення простору , що визначене формулою , де — комутатор векторних полів . Цей оператор також однозначно продовжується до диференціювання , зберігає тип тензорів і переставляється зі згорткою. В локальних координатах Лі похідна тензора виражається так:
3) Зовнішній диференціал (зовнішня похідна) — лінійний оператор , що зіставляє зовнішній диференційній формі (кососиметричному коваріантному тензору) степеня форму такого ж вигляду і степеня , котра задовольняє умовам:
де — символ зовнішнього добутку — ступінь . В локальних координатах зовнішня похідна тензора виражається так:
Оператор — узагальнення оператора .
4) Тензор кривизни симетричного невиродженого двічі коваріантного тензора є дією деякого нелінійного оператора :
де
Література
Мак-Коннел А.Дж. Введение в тензорный анализ. — Москва: ФМЛ, 1963 — С. 411. Кочин Р.Е. Векторное исчисление и начала тензорного исчисления. — Москва: Наука, 1965 — С. 427.
Акивис М.А. Гольдберг В.В. Тензорное исчисление. — Москва: Наука, 1969 — С. 352. Векуа И.Н. Основы тензорного анализа и теории ковариантов. — Москва: ФМЛ, 1978 — С. 297. Победря Б.Е. Лекции по тензорному анализу. — Москва: Изд. МГУ, 1986 — С. 264. Bishop, Richard L.; Samuel I. Goldberg (1980) . Tensor Analysis on Manifolds. Dover. ISBN 978-0-486-64039-6. Lebedev, Leonid P.; Michael J. Cloud (2003). Tensor Analysis. World Scientific. ISBN 978-981-238-360-0. Kay, David C (1988-04-01). Schaum's Outline of Tensor Calculus. McGraw-Hill. ISBN 978-0070334847. Synge JL, Schild A (1978-07-01). Tensor Calculus. Dover Publications. ISBN 978-0486636122.