Суперформула — узагальнений випадок рівняння плоскої кривої супереліпса (кривої Ламе), записаний у 1997 році бельгійським вченим Йоханом Джилісом ().
Й.Джиліс припустив, що формула може бути використана для опису багатьох складних форм і кривих, які зустрічаються в природіGielis Johan A generic geometric transformation that unifies a wide range of natural and abstract shapes American Journal of Botany 90 (3): 333–338, 2003. ISSN 0002-9122.
Запис рівняння У полярних координатах, для радіуса і кута , суперформула має вигляд:
де — характеризує число фрагметів, що повторюються; , , — параметри, що визначають форму; , — габарити (величини півосей).
Графіки Інші приклади кривих, побудованих за супреформулою для вказаних m, n1, n2 і n3 при a = b = 1
Програмні реалізації побудови кривих GNU Octave Програма для генерування кривих на основі суперформули мовою програмування GNU Octave:
function sf2d(n,a) u=[0:.001:2*pi]; raux=abs(1/a(1).*abs(cos(n(1)*u/4))).^n(3)+abs(1/a(2).*abs(sin(n(1)*u/4))).^n(4); r=abs(raux).^(-1/n(2)); x=r.*cos(u); y=r.*sin(u); plot(x,y); end
PHP script PHP-скрипт для генерування таких фігур: <?php header("Content-type: image/png"); set_time_limit(120); $img = imagecreatetruecolor(800, 800); $black = imagecolorallocate($img, 0, 0, 0); imagefilledrectangle($img, 0, 0, 800, 800, $black);
$center = 400; $PI = 2 * pi();
$a = 1; $b = 1; $m = 12; $n1 = 5; $n2 = 6; $n3 = 48;
for($f = 0; $f <= $PI; $f += 0.0001) { $r= pow((pow(abs(cos($m*$f/4)/$a),$n2) + pow(abs(sin($m*$f/4)/$b), $n3)), -(1/$n1)); $x = $center + $r * cos ($f) * 100; $y = $center + $r * sin ($f) * 100; $col = imagecolorallocate($img, 255, 255, 255); imagesetpixel($img, $x, $y, $col);
print imagepng($img); imagedestroy($img); ?>
Узагальнення на більшу кількість вимірів Рівняння Є можливим розширення суперформули до 3, 4, чи n вимірів, у сферичній системі координат. Наприклад тривимірне параметричне задання поверхні отримується перемноженням двох суперформул r1 and r2. Геометричне місце точок відповідної поверхні може бути задане співвідношеннями:
де змінюється у межах від -π/2 до π/2 (широта) і θ в діапазоні між -π та π (довгота).
Графічні побудови Тривимірна суперформула для a = b = 1:
Програма у GNU Octave Показані вище фігури згенеровано наступним скриптом GNU Octave: function sf3d(n, a) u=[-pi:.05:pi]; v=[-pi/2:.05:pi/2]; nu=length(u); nv=length(v); for i=1:nu for j=1:nv raux1=abs(1/a(1)*abs(cos(n(1).*u(i)/4))).^n(3)+abs(1/a(2)*abs(sin(n(1)*u(i)/4))).^n(4); r1=abs(raux1).^(-1/n(2)); raux2=abs(1/a(1)*abs(cos(n(1)*v(j)/4))).^n(3)+abs(1/a(2)*abs(sin(n(1)*v(j)/4))).^n(4); r2=abs(raux2).^(-1/n(2)); x(i,j)=r1*cos(u(i))*r2*cos(v(j)); y(i,j)=r1*sin(u(i))*r2*cos(v(j)); z(i,j)=r2*sin(v(j)); endfor; endfor; mesh(x,y,z); endfunction;
Див. також Супереліпс
Примітки
Посилання Some Experiments on Fitting of Gielis Curves by Simulated Annealing and Particle Swarm Methods of Global Optimization Least Squares Fitting of Chacón-Gielis Curves By the Particle Swarm Method of Optimization Superformula 2D Plotter & SVG Generator Interactive example using JSXGraph 3D Superdupershape Explorer using Processing Interactive 3D Superformula plotter using Processing (with code) SuperShaper: An OpenCL accelerated 3D SuperShape generator with shader based visualisation (OpenGL3)