Теоре́ма Барб'є́ — теорема французького астронома і математика Еміля Барб'є, що описує довжину кривих сталої ширини. Сформульована і доведена Барб'є в 1860 році.
Формулювання
Довжина будь-якої кривої сталої ширини дорівнює .
Доведення Існує кілька доведень теореми Барб'є: Базується на методах опуклої геометрії. З одного боку, опукла фігура є фігурою сталої ширини , якщо і тільки якщо сума Мінковського і її образу при центральній симетрії виявляється колоом радіуса . З іншого боку, при сумі за Мінковським плоских опуклих фігур, їх периметри складаються, периметр фігури сталої ширини дорівнює половині периметра кола радіуса , тобто . Базується на теорії ймовірностей. Барб'є довів теорему, яка узагальнює відому відповідь в задачі Бюффона про кидання голки. Він показав, що при киданні опуклої фігури на площину, розкреслену лініями на відстані одна від одної, якщо фігура не може перетнути більше однієї з цих ліній, то ймовірність, що фігура перетне одну з ліній, дорівнює , де — периметр цієї фігури. Оскільки фігура сталої ширини задовольняє умові цієї теореми для , а ймовірність перетину в цьому випадку дорівнює одиниці, її периметр повинен дорівнювати .
Варіації та узагальнення Теорема Барб'є так само виконується для фігур сталої ширини в площині Мінковського. Формула Крофтона
Примітки
Література