Однорідні координати — координати, що володіють властивістю, за якої об'єкт, що визначається цими координатами, не змінюється при множенні всіх координат на одне і те ж число, відмінне від нуля. Однорідні координати мають таке ж значення для проєктивної геометрії, як декартові координати для Евклідової геометрії. Поняття однорідних координат увів Август Фердинанд Мебіус у 1827 році у роботі Der barycentrische Calcül.

За допомогою однорідних координат навіть координати нескінченно віддалених точок можна представити за допомогою скінченних координат. Формули, записані в однорідних координатах, найчастіше простіші та більш симетричні, ніж їхні вирази в декартових координатах. Однорідні координати мають широкий спектр застосування, в тому числі в комп'ютерній графіці та в 3D комп'ютерному зорі, де вони дозволяють виконувати афінні перетворення і, загалом, проєктивні перетворення, через що їх легко представити у вигляді матриці.

Однорідні координати не задають однозначно точку простору. Наприклад, (1, 1, 1, 1) і (2, 2, 2, 2) задають одну і ту ж точку (1, 1, 1). При переході до однорідних координат для точки з координатами (x, у, z) пропонується узяти набір (x, у, z, 1). В процесі перетворень четверта координата w може змінюватися.

Зворотний перехід до декартових координат здійснюється за допомогою ділення на w-координату.

Вступ Дійсну проєктивну площину можна розглядати як евклідову площину, яка має додаткові точки, які називаються точками на нескінченності, котрі вважають такими, що лежать на новій прямій, . Існує точка на нескінченності, яка відповідає кожному напрямкові (який чисельно задається нахилом прямої), неформально визначена як границя точки, яка рухається в напрямку від початку. Стверджують, що паралельні лінії на евклідовій площині перетинаються в точці на нескінченності, яка відповідає їхньому спільному напрямкові. Для точки на Евклідовій площині і будь-якого ненульового дійсного числа Z трійка називається множиною однорідних координат точки. За цим визначенням, множення трьох однорідних координат на одне ненульове значення дає новий набір однорідних координат тієї самої точки. Зокрема є множиною однорідних координат для точки . Наприклад, точку декартової системи можна задати в однорідних координатах як або . Початкові декартові координати можна отримати шляхом ділення перших двох значень на третє. Таким чином, одну точку в декартових координатах можна задавати нескінченною кількістю однорідних координат.

Рівняння прямої, що проходить через початок , можна записати як , де n і m обидва не дорівнюють 0. В параметричній формі це можна записати . Нехай Z = 1/t, тоді координати точки на прямій можуть бути записані як . В однорідних координатах це буде . У граничному випадкові, коли t наближається до нескінченності, тобто точка рухається від початку координат, Z наближається до 0 і однорідні координати точки будуть . Таким чином, ми визначаємо як однорідні координати точки на нескінченності, яка відповідає напрямкові прямої . Позаяк кожна пряма в Евклідовій площині паралельна прямій, яка проходить через початок, і паралельні лінії мають одну точку на нескінченності, нескінченна точка на кожній прямій Евклідової площини має дані однорідні координати.

Як підсумок: Будь-яка точка на проєктивній площині задається трійкою , що називається однорідними координатами або проєктивними координатами точки, де X, Y і Z всі не дорівнюють 0. Точка, задана певним набором однорідних координат, залишиться незмінною, якщо її координати помножити на один і той же коефіцієнт. І навпаки, дві множини однорідних координат задають одну і ту ж точку тоді і тільки тоді, коли одну з них можна отримати з іншої шляхом множення на одну ненульову константу. Якщо Z не дорівнює 0, точка відповідає точці на Евклідовій площині. Якщо Z дорівнює 0, точка відповідає точці на нескінченності. Зазначимо, що трійка координат не представляє жодної точки. Початок координат задається як .For the section:

Позначення Деякі автори використовують інше позначення для однорідних координат, яке дозволяє відрізнити їх від Декартових координат. Використовується двокрапка замість коми, наприклад (x:y:z) замість написання , що підкреслює зміст того, що координати варто розглядати як співвідношення. Квадратні дужки, як в , підкреслюють, що багато наборів координат пов'язано з однією точкою. Деякі автори використовують поєднання двокрапок і квадратних дужок: [x:y:z].

Інші виміри Можна провести аналогію для проєктивних просторів, що не є площиною. Так, наприклад, точки на проєктивній прямій можуть задаватися як пари координат , обидві не рівні нулеві. В такому випадку точка на нескінченності є . Аналогічно точка у проєктивному просторі n-виміру задається набором (n + 1) координат.

Матриці елементарних перетворень евклідового простору в однорідних координатах

Нехай задано точку евклідового простору з координатами . Їй ставиться у відповідність точка з однорідними координатами , з якою виконуються потрібні перетворення. Після цього отримані координати переводяться у декартові координати .

Використання матричного запису дозволяє отримати економію в кількості зроблених операцій. Позаяк добуток матриць асоціативний, то можна спочатку обчислити необхідне перетворення як добуток матриць, і тільки потім застосувати його до координат точок.

Паралельне перенесення: =Обертання навколо осі x: =Обертання навколо осі y: =Обертання навколо осі z: =Масштабування: =Перспективне перетворення: =Ортогональна проєкція: =

Посилання Homogeneous coordinates

Примітки

Див. також Проєктивний простір Проєктивні координати Барицентричні координати Плюккерові координати