Монотонно спадною (зростаючою, неспадною, незростаючою) називають послідовність в якій кожен член є меншим (більшим, не меншим, не більшим) за член послідовності . Визначення Нехай є множина , на якій введено відношення порядку. Послідовність елементів множини називається неспадною, якщо кожен елемент цієї послідовності не перевищує наступного за ним. — неспадна
Послідовність елементів множини називається незростаючою, якщо кожен наступний елемент цієї послідовності не перевищує попереднього. — незростаюча
Послідовність елементів множини називається зростаючою , якщо кожен наступний елемент цієї послідовності перевищує попередній. — зростаюча
Послідовність елементів множини називається спадною, якщо кожен елемент цієї послідовності перевищує наступний за ним. — спадною
Послідовність називається монотонною, якщо вона є неспадною або незростаючою.
Послідовність називається строго монотонною, якщо вона є зростаючою або спадною.
Очевидно, що строго монотонна послідовність є монотонною.
Іноді використовується варіант термінології, в якому термін «зростаюча послідовність» розглядається як синонім терміну «неспадна послідовність», а термін «спадна послідовність» - як синонім терміну «незростаюча послідовність». У такому випадку зростаючі і спадні послідовності з вищенаведеного визначення називаються «строго зростаючими» і «строго спадними», відповідно.
Проміжки монотонності Може виявитися, що вищевказані умови виконуються не для всіх номерів , а лише для номерів із деякого діапазону.
Тут допускається звернення правої межі у нескінченність. У цьому випадку послідовність називається монотонною на проміжку I, а сам діапазон I є проміжком монотонності послідовності.
Приклади Послідовність натуральних чисел. . Початкові відрізки:. Зростаюча послідовність. Складається з натуральних чисел. Обмежена знизу, зверху не обмежена. Послідовність Фібоначчі
Початкові відрізки: . Не спадна послідовність. Складається з натуральних чисел. Обмежена знизу, зверху не обмежена. Геометрична прогресія з основою . . Початкові відрізки: . Зростаюча послідовність. Складається з раціональних чисел. Обмежена з обох сторін.
Послідовність, що сходиться до числа e. . Початкові відрізки:. Зростаюча послідовність. Складається з раціональних чисел, але сходиться до трансцендентного числа. Обмежена з обох сторін. Послідовність раціональних чисел виду не є монотонною. Тим не менш, вона (строго) спадає на відрізку і (строго) зростає на проміжку .
Властивості Обмеженість. Будь-яка неспадна послідовність обмежена знизу. Будь-яка незростаюча послідовність обмежена зверху. Будь-яка монотонна послідовність обмежена принаймні з одного боку. Монотонна послідовність сходиться тоді і тільки тоді, коли вона обмежена з обох сторін. (Теорема Вейєрштрасса про обмежені монотонних послідовностей) Збіжна неспадна послідовність обмежена зверху своєю межею. Збіжна незростаюча послідовність обмежена знизу своєю межею.
Джерела