Булеве кільце — кільце з одиницею, всі елементи якого є ідемпотентами. Тобто x2 = x для всіх елементів кільця.
Всі булеві кільця є комутативними кільцями характеристики 2, оскільки x + x = 0. Доведення: 0 = (x + x)2 - (x + x)= x + x.
Зв'язок з булевою алгеброю
Назва «булеве кільце» пояснюється тим, що кожне булеве кільце еквівалентне булевій алгебрі і навпаки: Операції булевого кільця:
Операції булевої алгебри
Нуль кільця збігається з 0 булевої алгебри, нейтральний елемент множення збігається з 1 булевої алгебри. Відображення однієї булевої алгебри в іншу є гомоморфізмом тоді і тільки тоді, коли гомоморфізмом буде відображення відповідних кілець. Тобто, категорії булевих кілець та булевих алгебр є еквівалентними. Ідеал, простий ідеал, максимальний ідеал (теорія кілець) булевого кільця збігається з ідеалом простим ідеалом, максимальним ідеалом (теорія порядку) його булевої алгебри.
Представлення булевих алгебр
Кожна скінченна булева алгебра ізоморфна алгебрі всіх підмножин скінченної множини. Тому число елементів булевої алгебри завжди є ступенем 2.
Булеве кільце еквівалентне полю множин.
Див. також Булева алгебра з двома елементами