Функція вибору (чи селектор) для множини це функція ( - булеан ), яка кожній множині ставить у відповідність деяку її підмножину .
Приклад Нехай X = { {1,4,7}, {9}, {2,7} }. Тоді функція, що призначає 7 множині {1,4,7}, 9 множині {9} і 2 множині {2,7} — це функція вибору.
Функція вибору та аксіома вибору Ернст Цермело ввів поняття функції вибору разом з аксіомою вибору в 1904 році в доведенні теореми про цілком впорядковану множину. Як було вказано ним, деякі множини можуть мати функцію вибору і без застосування аксіоми вибору: Для скінченного сімейства множин. Якщо кожна множина сімейства є цілком упорядкованою. Коли об'єднання всіх множин сімейства є цілком упорядковуваним.
Способи задання Вибір зручно здійснювати порівнюючи дві альтернативи, тобто задавати на деяке бінарне відношення . Тоді, функцію вибору за цим бінарним відношенням можна задати двома способами: Блокування - множина мажорант на множині X. ( - доповнення до відношення). Перевага - множина максимумів на множині X.
Теорема: функції вибору і зв'язані співвідношеннями , де - двоїсте відношення до R.
Покриваюче сімейство для множини X - це .
Функція вибору є нормальною, тоді і лише тоді, коли для будь-якої множини , і для будь-якого покриваючого її сімейства виконується:
Тобто, якщо функція нормальна, то кожен об'єкт з X, що не є обраним у X, не є обраним хоча б у одній множині з покриваючого сімейства.
Посилання