Стійкий розподіл у теорії імовірностей — це такий розподіл, який може бути отриманий як границя за розподілом сум незалежних випадкових величин.
Визначення
Розподіл випадкової величини називається стійким, якщо для будь-якого існують такі константи , що розподіл випадкової величини збігається з розподілом суми: , де рівність розуміється в змісті рівності розподілів, а випадкові величини розподілені як , тобто .
Зауваження
Якщо — функція стійкого розподілу, те , такі що , де позначає згортку.
Якщо — характеристична функція стійкого розподілу, те , такі що .
Властивості стійких розподілів
Випадкова величина має стійкий розподіл тоді і тільки тоді, коли вона є межею по розподілі лінійних комбінацій сум незалежних однаково розподілених випадкових величин. Більш точно, випадкова величина може бути межею по розподілі випадкових величин виду , де — незалежні однаково розподілені випадкові величини, тоді і тільки тоді, коли розподіл стійкий.
(Представлення Леви — Хинчина) Логарифм характеристичної функції випадкової величини зі стійким розподілом має вид:
де і
Див. також
Безмежно подільний розподіл