В абстрактній алгебрі довжина модуля — числова характеристика модуля, що деякою мірою узагальнює поняття розмірності векторного простору.
Визначення
Нехай — модуль над кільцем . Довжина визначається як супремум чисел для яких існує послідовність підмодулів:
Довжина позначається або .
Властивості
Довжина нульового модуля рівна 0. Довжина інших модулів є додатнім цілим числом. Єдиними модулями довжина яких рівна 1 є прості модулі. В іншому випадку існує послідовність і довжина модуля не менша 2. Модуль має скінченну довжину якщо і тільки якщо він є модулем Нетер і модулем Артіна. Нехай маємо коротку точну послідовність:
тоді . З попереднього випливає, що якщо N — підмодуль M то . Також звідси випливає формула:
Приклади
Для скінченновимірних векторних просторів поняття розмірності і довжини є еквівалентними: . Кільце , що розглядається як модуль над самим собою, має нескінченну довжину, що демонструє наступна послідовність визначена для довільного натурального числа n :
Циклічна група , як -модуль має довжину, що рівна кількості простих дільників n з урахуванням їх кратності.
Література Шафаревич И.Р. Основные понятия алгебры.-Ижевск, 1999, 348с.