Симетрична група множини X — це група всіх перестановок X (тобто бієкцій X →X) щодо операції композиції.
Симетрична група множини X позначається S(X). Якщо X = {1, 2,…, n}, то S(X) позначається Sn.
Нейтральним елементом в симетричній групі є тотожна перестановка , тобто тотожне відображення: для всіх x з X.
Порядком групи Sn (тобто кількістю її елементів) є n! (n-факторіал).
Теорема Келі Будь-яка група ізоморфна деякій підгрупі групи перестановок елементів .
Групи низького порядку S0 та S1 Групи з одного елементу.
S2 Група з 2 елементів, циклічна, а отже і абелева.
S3 Перша неабелева симетрична група. Ізоморфна діедральній групі порядку 6.
S4 Ізоморфна групі поворотів куба.
S5 Є групою Галуа для рівняння п'ятого степеня.
Властивості При симетрична група Sn некомутативна. При симетрична група Sn є нерозв'язною.
Див. також Група чорної скриньки Обчислювальна теорія груп
Джерела
Українською
Іншими мовами