В Евклідовій геометрії вписаний чотирикутник — це чотирикутник, вершини якого лежать на одному колі.
Це коло називається описаним колом, а вершини є конциклічними. Центр описаного навколо чотирикутника кола лежить на перетині його серединних перпендикулярів.
Інші назви цих чотирикутників — це конциклічні чотирикутники та хордальні чотирикутники, оскільки сторони чотирикутника — це хорди описаного кола.
Вписаний чотирикутник може бути опуклим або перехрещеним чотирикутником. Формули та властивості, наведені нижче, стосуються опуклих вписаних чотирикутників.
Особливі випадки
Не кожен чотирикутник можна вписати в коло. Прикладом чотирикутника, який не можна вписати, є не квадратний ромб, або нерівнобічна трапеція.
Будь-який квадрат, прямокутник, рівнобедрену трапецію або антипаралелограм можна вписати в коло.
Дельтоїд можна вписати, тоді й лише тоді, коли він має два протилежні прямі кути, що лежать між сторонами різної довжини, тобто коли дельтоїд є прямокутним.
Біцентричний чотирикутник — це вписаний чотирикутник, який також є описаним.
Зовні-біцентричний чотирикутник — це вписаний чотирикутник, який є також зовні-описаним.
Зовні-описаний чотирикутник — опуклий чотирикутник, у якого прямі, на яких лежать його сторони, є дотичними до певного кола поза чотирикутником.
Гармонійний чотирикутник — це чотирикутник, який можна вписати в коло та добутки довжин протилежних сторін якого рівні.
Пов'язані визначення
Для кожної сторони вписаного чотирикутника можна провести пряму, яка буде перпендикулярна цій стороні і проходити через середину протилежної сторони.
Відрізки цих прямих між сторонами називають бівисотами (або антимедіатрисами, по аналогії із серединним перпендикуляром (медіатрисою) до сторони трикутника). Опуклий вписаний чотирикутник має чотири бівисоти (KY, LV, MX та NW), які є конкурентними прямими, тобто перетинаються в одній точці Т — антицентрі чотирикутника.
Відрізки, що сполучають середини протилежних сторін (KM, LN), називаються бімедіанами чотирикутника.
Бімедіани чотирикутника перетинаються в точці Gv — вершинному центроїді чотирикутника (центр тяжіння рівних мас, зосереджених у вершинах чотирикутника).
Умови, за яких чотирикутник є вписаним У цьому розділі наведено необхідні та достатні умови, щоб чотирикутник був вписаним.
Опуклий чотирикутник можна вписати тоді й лише тоді, коли чотири перпендикуляри до середин сторін є конкурентними, тобто, перетинаються в одній точці. Ця спільна точка є центром описаного кола. Сума протилежних кутів. Опуклий чотирикутник можна вписати тоді і лише тоді, коли сума його протилежних кутів дорівнює1800,:
Ця теорема є положенням 22 в трактаті Евкліда «Начала».
Це твердження еквівалентне наступному: Опуклий чотирикутник можна вписати в коло тоді і тільки тоді, коли кожен його зовнішній кут дорівнює протилежному внутрішньому куту. Тобто, якщо дві протилежні сторони чотирикутника є відносно двох інших сторін. Наслідок: В термінах тангенсів половинних кутів, це твердження можна записати наступним чином:
Це означає, що чотирикутник вписано тоді і тільки тоді, коли виконується рівність:
Кути між сторонами та діагоналями. Ще одна необхідна і достатня умова, щоб опуклий чотирикутник був вписаним — кут між стороною та діагоналлю повинен дорівнювати куту між протилежною стороною та іншою діагоналлю. Тобто, наприклад,
Теорема Птолемея виражає добуток довжин двох діагоналей p і q вписаного чотирикутника, як суму добутків протилежних сторінK. S. Kedlaya, Geometry Unbound, 2006:
Має місце обернена теорема. Тобто, якщо ця рівність виконується для опуклого чотирикутника, тоді він є вписаним в коло.
Теорема про перетин хорд. Якщо дві прямі, одна, що містить відрізок , а інша, що містить відрізок , перетинаються в точці , то чотири точки , , , є конциклічними (тобто, є вершинами вписаного чотирикутника, без урахування порядку вершин), тоді й лише тоді, коли
Точка перетину може бути як зовні так і всередині кола. У першому випадку описаний чотирикутник — , а в другому випадку вписаний чотирикутник — . Коли перетин є внутрішнім, рівність зазначає, що добуток відрізка довжини, на який ділить одну діагональ, дорівнює іншій діагоналі. Це твердження відомо як теорема про перетин хорд, оскільки діагоналі вписаного чотирикутника є хордами.
Нехай PFG є діагональним трикутником в опуклому чотирикутнику (точка P — точка перетину діагоналей чотирикутника, G — точка перетину продовжень сторін AB та DC, F — точка перетину продовжень сторін AD та BC). І нехай — коло дев'яти точок трикутника PFG. можна вписати в коло тоді і лише тоді, коли точка T перетину бімедіан KL та XV чотирикутника належить цьому колу дев'яти точок..
Точки Паскаля Нехай в опуклому чотирикутнику ABCD, E — точка перетину діагоналей, а F — точка перетину продовжень сторін AD та BC. І нехай — коло, діаметром якого є відрізок EF, що формує на сторонах AB та CD точки Паскаля P та Q (див. мал.) Чотирикутник ABCD є вписаним тоді і лише тоді, коли точки P та Q колінеарні з центром O кола . Чотирикутник ABCD є вписаним тоді і лише тоді, коли точки P та Q є серединами сторін AB та CD.
Площа
Площа вписаного чотирикутника зі сторонами , , , обчислюється за формулою Брахмагупти
де півпериметр .
Формула є наслідком формули Бретшнайдера для довільного чотирикутника, оскільки протилежні кути є суміжними для вписаного чотирикутника.
Якщо , то вписаний чотирикутник стає трикутником, а формула зводиться до формули Герона.
Формулу Брамагупти можна записати через довжини сторін чотирикутника наступним чином:
Вписаний чотирикутник має максимальну площу серед усіх чотирикутників, що мають однакову послідовність довжин сторін. Це ще один наслідок формули Бретшнайдера. Також це можна довести за допомогою математичного аналізу.
Якщо є чотири неоднакові довжини, кожна менша від суми трьох інших, то вони будуть сторонами для трьох неконгруентних вписаних чотирикутників, які за формулою Брахмагупти мають однакову площу. Зокрема, для сторін , , і сторона може бути протилежною будь-якій зі сторін , або .
Площу вписаного чотирикутника з послідовними сторонами , , , та кутом між сторонами і можна виразити як
або , де — будь-який кут між діагоналями.
За умови, що не є прямим кутом, площа також може бути виражена як
Інша формула така
де — радіус описаного кола. Як прямий наслідок цієї формули,
де рівність буде, тоді і тільки тоді, коли чотирикутник є квадратом.
Діагоналі
У вписаному чотирикутнику з послідовними вершинами , , , і сторонами , , і , довжини діагоналей і можна виразити через довжини сторін якJohnson, Roger A., Advanced Euclidean Geometry, Dover Publ., 2007 (orig. 1929).
та , що доводить теорему Птолемея
Відповідно до другої теореми Птолемея ,
в тих же позначеннях, що і вище.
Для суми діагоналей маємо нерівністьInequalities proposed in «», 2007, .
Рівність справедлива тоді й лише тоді, коли діагоналі мають однакову довжину, що можна довести за допомогою нерівності середнього арифметичного та геометричного.
Більше того,
У будь-якому опуклому чотирикутнику дві діагоналі розділяють чотирикутник на чотири трикутники; у вписаному чотирикутнику протилежні пари цих чотирьох трикутників подібні між собою.
Якщо і — середини діагоналей і , а точки і — точки перетину прямих, на яких лежать протилежні сторони чотирикутника, то :
Якщо діагоналі і вписаного чотирикутника перетинаються у точці P, то, An Identity in (Cyclic) Quadrilaterals, Interactive Mathematics Miscellany and Puzzles, , Accessed 18 March 2014.
Множина сторін, які можуть утворювати вписаний чотирикутник, може бути впорядкована у будь-якій з трьох різних послідовностей, кожна з яких може утворювати вписаний чотирикутник тієї самої площі в одному і тому ж колі (їх площа буде однакова за формулою площі Брахмагупти). Будь-які з цих вписаних чотирикутників мають одну спільну довжину діагоналі.
Формули кута Для вписаного чотирикутника із послідовними сторонами , , , , півпериметром та кутом між сторонами та тригонометричні функції від задаються формулами
Кут між діагоналями можна знайти за формулою:
Якщо продовження протилежних сторін і перетинаються під кутом , то
де — півпериметр.
Формула описаного кола Парамешвара Вписаний чотирикутник з послідовними сторонами , , , і півпериметром має описане коло радіуса
Цю формулу отримав індійський математик у 15 столітті.
Якщо скористатися формулою Брахмагупти, формулу Парамешвари можна отримати в наступному вигляді:
де S — площа вписаного чотирикутника.
Інші властивості
Японська теорема про вписаний чотирикутник. У вписаному чотирикутнику інцентри M1, M2, M3, M4 (див. рисунок праворуч) у трикутниках , , , та є вершинами прямокутника. Крім того, якщо точки P, Q, R, S є серединами відповідно дуг AB, BC, CD та AD описаного кола, то відрізки PR та QS є паралельними до сторін цього прямокутника і перетинаються в його центрі.. Сума радіусів вписаних кіл трикутників ∆ABC та ∆ACD дорівнює сумі радіусів вписаних кіл трикутників ∆ABD та ∆BCD.
Також, якщо з'єднати між собою центроїди GA, GB, GC, GD трикутників ∆ABD, ∆ABC , ∆BCD, ∆ACD, їх центри кіл дев'яти точок NA, NB, NC, ND, та їх ортоцентри HA, HB, HC, HD, отримаємо три чотирикутника, що подібні до вихідного чотирикутника ABCD. А чотирикутник HAHBHCHD крім того є ще і конгруентним (рівним) ABCD.. Нехай у вписаному опуклому чотирикутнику ABCD: G — точка перетину прямих GAGC та GBGD, Н — точка перетину прямих HAHC та HBHD. O — центр описаного кола. Тоді, точки H, G і O лежать на одній прямій і HG:GO = 2:1.
Наслідок теореми про вписаний кут та теореми про зовнішній кут. У вписаному чотирикутнику з центром описаного кола — , через позначимо точку, в якій перетинаються діагоналі і . Тоді кут — це середнє арифметичне кутів і . Не існує вписаних чотирикутників площа яких є раціональним числом, а сторони є нерівними раціональними числами або в арифметичній, або в геометричній прогресії.
Якщо вписаний чотирикутник має довжини сторін, які утворюють арифметичну прогресію, чотирикутник також є зовнішньо-описаним. Якщо прямі на яких лежать протилежні сторони вписаного чотирикутника перетинаються в точках та , то внутрішні бісектриси кутів в точках E і F — перпендикулярні. Узагальненням до теореми Птолемея є: теорема Пурсера, та перша й друга теореми Кейсі.
Чудові точки та лінії чотирикутника Антицентр та колінеарність
У вписаному в коло чотирикутнику, чотири його бівисоти перетинаються в одній точці Н. Ця точка називається антицентром чотирикутника.
В опуклому чотирикутнику дві його бімедіани перетинаються в точці Gv — вершинному центроїді чотирикутника, центру тяжіння рівних мас, зосереджених у вершинах чотирикутника Антицентр має властивість бути відображенням центру описаного кола О відносно «вершинного центроїда». Таким чином, у вписаному чотирикутнику центр описаного кола, «вершинний центроїд» та антицентр є колінеарними, тобто, лежать на одній прямій. Крім того вершинний центроїд чотирикутника знаходиться в середині відрізка HO. Пряма, що містить цей відрізок називається прямою Ейлера. Нехай протилежні сторони AB та CD описаного чотирикутника перетинаються в точці Е. Точки S та Q — середини ціх сторін. Тоді, перпендикуляр, проведений з т Е на пряму SQ, проходить через антицентр H чотирикутника. Нехай центр О описаного кола чотирикутника симетрично відображено відносно його протилежних сторін в точки O1 та O2. Тоді пряма O1O2 проходить через антицентр H чотирикутника. Якщо діагоналі вписаного чотирикутника перетинаються в , а середні точки діагоналей позначено як і , то антицентр Н чотирикутника є ортоцентром трикутника , а вершинний центроїд Gv чотирикутника знаходиться в середині відрізка MN (Пряма, що містить цей відрізок називається прямою Гауса) Антицентр вписаного чотирикутника є точкою Понселе його вершин.