Розширення поля — поле для якого поле є підполем.
Позначається або .
Класифікація
Скінченні і нескінченні розширення
Довільне розширення також є векторним простором над . Розмірність цього векторного простору позначається .
Скінченним розширенням називається розширення, що є скінченновимірним векторним простором над .
В іншому випадку розширення називається нескінченним.
Прості і скінченнопороджені розширення
Якщо — деяке розширення поля , а підмножина , що не має спільних елементів з , то позначає найменше поле, що містить і .
Просте розширення — розширення, породжене одним елементом . Цей елемент називають первісним елементом. Скінченно породжене розширення — розширення , яке породжене скінченною кількістю елементів: .
Алгебричні і трансцендентні розширення
Елемент з , що є коренем ненульового многочлена з коефіцієнтами з називається алгебричним в розширенні . Елемент , що не є алгебричним називається трансцендентним.
Алгебричне розширення — розширення , всі елементи якого є алгебричними над . Розширення, що містить трансцендентні елементи називається трансцендентним розширенням.
Нормальні, сепарабельні розширення
Нормальне розширення — алгебричне розширення , для якого кожен незвідний многочлен над , що має хоч би один корінь в , розкладається в на лінійні множники. Сепарабельне розширення — алгебричне розширення, що складається з сепарабельних елементів тобто таких елементів , мінімальний многочлен , над для яких не має кратних коренів. Розширення Галуа — алгебричне розширення, що є нормальним і сепарабельним.
Приклади
Поле комплексних чисел є скінченним і алгебричним розширенням поля дійсних чисел. Дане розширення є розширенням Галуа і полем розкладу многочлена . Воно є простим розширенням (породжуючим елементом є
Поле дійсних чисел є нескінченним, трансцендентним розширенням поля раціональних чисел. Прикладами трансцендентних елементів можуть бути, наприклад числа e і π.
Іншим прикладом розширення поля раціональних чисел є поле p-адичних чисел.
Усі розширення полів характеристики 0 і скінченних полів є сепарабельними.
Література
Howie, John Mackintosh (2006), Fields and Galois Theory, London: Springer, ISBN 1852339861 .