Область цілісності — поняття абстрактної алгебри: комутативне кільце з одиницею, в якому і добуток двох ненульових елементів не рівний нулю. Умова виключає з розгляду тривіальне кільце .
Еквівалентне визначення: область цілісності — комутативне кільце, в якому нульовий ідеал є простим.
Приклади
Простий приклад області цілісності — кільце цілих чисел . Будь-яке поле є областю цілісності. З іншого боку, будь-яка артінова область цілісності є полем. Зокрема, всі скінченні області цілісності є скінченними полями. Кільце многочленів з коефіцієнтами з деякого цілісного кільця також є цілісним. Наприклад, цілісними будуть кільце многочленів однієї змінної з цілочисловими коефіцієнтами і кільце многочленів двох змінних з дійсними коефіцієнтами. Множина дійсних чисел виду є підкільцем поля , і, відповідно, областю цілісності. Те ж саме можна сказати про множину комплексних чисел виду , де і цілі. Нехай — зв'язна відкрита підмножина комплексної площини . Тоді кільце всіх голоморфних функцій буде цілісним. Те ж саме вірно для будь-якого кільця аналітичних функцій, визначених на зв'язній підмножині аналітичного многовиду. Якщо — комутативне кільце, а — ідеал в , то фактор-кільце цілісне тоді і тільки тоді, коли — простий ідеал. Кільце p-адичних цілих чисел. Фактор-кільце де m є складеним числом не є областю цілісності. Дійсно, вибравши розклад числа (де і не є рівними чи ). Тоді і , але . Коли ціле число є квадратом цілого числа тобто , кільце не є областю цілісності. У цьому випадку у і образи многочленів у фактор-кільці є не рівними нулю, а їх добуток буде рівним нулю. Кільце матриць розмірності над довільним ненульовим кільцем для не є областю цілісності. Кільце неперервних функції на одиничному інтервалі не є областю цілісності. Наприклад функції
не є всюди рівними нулю, натомість їх добуток є нульовою функцією. Тензорний добуток не є областю цілісності. У цьому кільці існують два ідемпотенти і добуток яких .
Подільність, прості незвідні елементи
Нехай і — елементи цілісного кільця . Говорять, що « ділить » або « — дільник » (і пишуть ), якщо і тільки якщо існує елемент такий, що .
Подільність транзитивна: якщо ділить і ділить , то ділить . Якщо ділить і , то ділить також їх суму і різниця .
Для кільця з одиницею елементи , які ділять , називаються оборотними або дільниками одиниці. Елементи і називаються асоційованими, якщо ділить і ділить . і асоційовані тоді і тільки тоді, коли , де — оборотний елемент.
Ненульовий елемент , що не є оборотним називається незвідним, якщо його не можна розкласти в добуток двох елементів, що не є оборотними.
Ненульовий необоротний елемент називається простим, якщо з того, що , слідує або . Це визначення узагальнює поняття простого числа в кільці , проте враховує і негативні прості числа. Якщо — простий елемент кільця, то породжуваний ним головний ідеал буде простим. Будь-який простий елемент є незвідним, але зворотне вірно не у всіх областях цілісності.
Властивості
Будь-яке поле, а також будь-яке кільце з одиницею, що міститься в деякому полі, є областю цілісності. Навпаки, будь-яка область цілісності може бути вкладена в деяке поле. Таке вкладення дає конструкція поля часток. Якщо — область цілісності, то кільце многочленів і кільце формальних степеневих рядів над також будуть областями цілісності. Якщо — комутативне кільце з одиницею і — деякий ідеал , то кільце є областю цілісності тоді і тільки тоді, коли ідеал є простим. У області цілісності можна застосувати правило скорочення: якщо , то з рівності випливає . Навпаки, якщо для кожного елемента рівності випливає то комутативне кільце є областю цілісності. Кільце буде областю цілісності тоді і тільки тоді, коли його спектр є незвідним топологічним простором. Прямий добуток кілець ніколи не є областю цілісності, оскільки одиниця першого кільця, помножена на одиницю другого кільця, дасть 0. Тензорний добуток цілісних кілець теж буде цілісним кільцем. Характеристика області цілісності є або нулем, або простим числом. Теорема Веддерберна: довільна скінченна область цілісності є полем. Область цілісності є рівною перетину локалізацій по всіх максимальних ідеалах
Оскільки для всіх максимальних ідеалів , то також Навпаки нехай але Множина є власним ідеалом у (оскільки ). Тому міститься у деякому максимальному ідеалі . За умовою тобто можна записати Але тоді і тому має бути Одержане протиріччя завершує доведення.
Варіації і узагальнення Іноді у визначенні області цілісності не вимагають комутативності. Прикладами некомутативних областей цілісності є тіла, а також підкільця тіл, що містять одиницю, наприклад кватерніони з цілими координатами. Проте, взагалі кажучи, невірно, що будь-яка некомутативна область цілісності може бути вкладена в деяке тіло.
Література
Українською
Іншими мовами
Adamson Iain T. (1972). Elementary rings and modules. University Mathematical Texts. Oliver and Boyd. ISBN 0-05-002192-3. Bourbaki, Nicolas (1988), Algebra, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-19373-9 Dummit, David S.; Foote, Richard M. (1999), Abstract algebra (2nd ed.), New York: John Wiley & Sons, ISBN 978-0-471-36857-1 Mac Lane, Saunders; Birkhoff, Garrett (1967), Algebra, New York: The Macmillan Co., MR0214415