У математиці, результантом двох многочленів і над деяким полем , зі старшими коефіцієнтами рівними одиниці, називається вираз
іншими словами, результант дорівнює добутку попарних різниць між їхніми коренями. Добуток береться за всіма коренями в алгебричному замиканні поля з урахуванням їх кратностей; оскільки вираз, що виходить, є симетричним многочленом від коренів многочленів і (які, можливо не належать полю ), його можна записати як многочлен від коефіцієнтів і . Для многочленів, старші коефіцієнти яких ( і відповідно) не обов'язково рівні 1, наведений вище вираз домножується на
Властивості і способи обчислення
Основна властивість результанта (і його основне застосування): результант — многочлен від коефіцієнтів і , рівний нулю в тому і лише в тому випадку, коли многочлени і мають спільний корінь (можливо, в деякому розширенні поля ). Результант дорівнює визначнику матриці Сильвестра. Дискримінант многочлена p можна визначити через результант p і його похідну p'''. де pn — старший коефіцієнт многочлена p. Для доведення спершу розглянемо випадок pn=1. Тоді маємо і при виконується рівність:
Звідси одержуємо:
Звідси й одержується частковий випадок рівняння. Загальний випадок одержується якщо врахувати, що при домноженні многочлена p на константу pn результант res(p, p') домножується на p2n-1, а дискримінант D(p) домножується на p2n-2'' Результант рівний добутку значень одного з многочленів за коренями іншого (як і раніше, добуток береться з урахуванням кратності коренів):
Якщо і , тоді Якщо є многочленами однакових степенів і , тоді де
Посилання