Алгебрично замкнуте поле — поле , у якому довільний многочлен ненульового степеня над має хоч би один корінь.
Еквівалентні визначення Деяке поле є алгебрично замкненим, тоді і тільки тоді, коли виконуються такі твердження: Усі незвідні многочлени над полем мають степінь 1. Кожен многочлен є добутком многочленів степеня 1. Кожне лінійне відображення має власний вектор.
Пов'язані визначення Для будь-якого поля існує єдине з точністю до ізоморфізму його алгебричне замикання, тобто його алгебричне розширення, що є алгебрично замкнутим.
Властивості В алгебрично замкнутому полі , кожен многочлен степеня n має рівно n (з урахуванням кратності) коренів . Інакше кажучи, кожний незвідний многочлен з кільця многочленів має степінь 1. Скінченні поля не можуть бути алгебрично замкнутими. Дійсно, якщо розглянути многочлен, коренями якого є всі елементи поля і додати 1, то одержаний многочлен не матиме коренів у даному полі.
Приклади Многочлен з цілими коефіцієнтами x² + 1 = 0 має тільки комплексні корені, тому ні раціональні числа, ні дійсні не є алгебрично замкнутими. Алгебричним замиканням поля дійсних чисел, є поле комплексних чисел. Його алгебрична замкнутість встановлюється основною теоремою алгебри. Алгебричним замиканням поля раціональних чисел, є поле комплексних алгебричних чисел.
Див. також Ернст Штайніц Замикання (математика) Кільце многочленів
Література