Лінійне диференціальне рівняння — звичайне диференціальне рівняння, в яке невідома функція та її похідні входять лінійно, тобто рівняння вигляду

де та  — функції, що залежать тільки від аргументу x.

Якщо — рівняння є однорідним лінійним диференційним рівнянням.

Однорідне диференційне рівняння n-го порядку має n лінійно незалежних розв'язків.

Якщо відомий хоча б один частковий розв'язок лінійного диференційного рівняння, то його загальний розв'язок є сумою часткового розв'язку та лінійної комбінації n розв'язків однорідного диференційного рівняння.

Операторний запис Лінійні диференціальні рівняння мають вигляд

де L — лінійний диференціальний оператор, у — невідома функція (наприклад, від ), а функція праворуч — ƒ є даною функцією такого ж характеру, як у . Також вживається запис

Лінійний оператор можна розглядати у формі

Лінійність умови на L виключає такі операції, як піднесення до квадрату похідної від у, але дозволяє, наприклад, брати другу похідну у. Зручно переписати це рівняння в операторній формі

де D є диференціальним оператором д / д (тобто Dy = у ', D 2 у = у ", …), і я  — задані функції.

Таке рівняння має порядок п, індекс старшої похідної у, у рівнянні.

Якщо у вважається функцією тільки однієї змінної, то говорять про звичайне диференціальне рівняння, в іншому разі похідні та їх коефіцієнти слід розуміти як вектори, матриці або тензори, тож одержимо (лінійне) диференціальне рівняння з частинними похідними.

Випадок, коли ƒ = 0, називається однорідним рівнянням . Воно особливо важливе для розв'язання у загального випадку, оскільки його розв'язки можна додавати до розв'язку неоднорідного рівняння, щоб дістати інший розв'язок (методом часткового і однорідного розв'язків). Коли я  — це числа, рівняння, називається рівнянням зі сталими коефіцієнтами.

Рівняння зі сталими коефіцієнтами

Важливим частковим випадком є лінійне диференційне рівняння зі сталими коефіцієнтами, для яких — певні сталі:

.

Рівняння зі змінними коефіцієнтами

Простим прикладом є рівняння Коші — Ейлера, що часто використовується в машинобудуванні

Іншим прикладом є лінійне диференціальне рівняння першого порядку:

Див. також Перетворення Фур'є Перетворення Лапласа

Посилання

напівлінійних диференціальних рівнянь (в диспергуючих PDE Wiki) квазілінійного диференціального рівняння (в диспергуючих PDE Wiki) повністю нелінійних диференціальних рівнянь (в диспергуючих PDE Wiki) http://eqworld.ipmnet.ru/en/solutions/ode.htm