Теорема Гана-Банаха — один із ключових результатів функціонального аналізу, що стверджує, що довільний обмежений функціонал, визначений на деякому підпросторі векторного простору можна продовжити на весь векторний простір.
Формулювання Для векторного простору X над полем дійсних чисел функція називається сублінійною, якщо виконуються наступні умови:
для довільних та x ∈ X,
для довільних x, y ∈ X.
Загальне твердження теореми можна подати так: Якщо є сублінійною функцією, і є лінійним функціоналом на лінійному підпросторі Y простору X і також виконується нерівність:
тоді існує продовження для φ на весь простір X, i.e., тобто існує функціонал ψ такий, що
і
Доведення Спершу доведемо, що існує продовження в одному напрямку. Нехай . Розглянемо лінійний простір виду:
Продовження на запишемо:
де — дійсне число, яке необхідно визначити.
Для довільних і виконується:
Звідси
Як наслідок
Визначимо так:
Виконується рівність
.
Визначимо
Для всіх і довільних справджується нерівність:
тому
Для завершення доведення використовується лема Цорна. Нехай E є множиною усіх можливих продовжень, що задовольняють умови теореми. Дана множина є частково впорядкована за включенням областей визначення і кожна лінійно впорядкована підмножина має супремум (об'єднання областей визначення). Тому за лемою Цорна дана множина має максимальний елемент. Цей елемент рівний всьому простору, адже в іншому випадку можна здійснити дальше продовження, скориставшись щойно визначеною конструкцією.
Наслідки
Якщо є нормованим простором, є його підпростором і є деяким функціоналом на , тоді існує такий, що: і також . Для довільних двох різних точок лінійного простору існує лінійний функціонал, що приймає різні значення в цих точках.
Джерела
Michael Reed and Barry Simon, Methods of Modern Mathematical Physics, Vol. 1, Functional Analysis, Section III.3. Academic Press, San Diego, 1980. ISBN 0-12-585050-6. Rudin, Walter (1991), Functional Analysis (2nd ed.), McGraw-Hill Science/Engineering/Math, ISBN 978-0-07-054236-5 Haim Brezis, Functional Analysis, Sobolev Spaces and Partial Differential Equations, Springer, ISBN 0387709134