База топології — множина відкритих підмножин X така, що кожна відкрита множина є об'єднанням деяких елементів . Поняття бази — одне з основних в топології. У багатьох питаннях, що стосуються відкритих множин деякого простору, досить обмежитися розглядом елементів його бази. Простір може мати багато баз, найбільшу з яких утворює множина всіх відкритих множин.
База топології однозначно визначає топологію. Тому для визначення деякої топології на просторі Х достатньо визначити деяку базу, а за відкриті множини взяти всі можливі об'єднання елементів бази. Щоб система множин , була базою якоїсь топології простору Х, необхідно і достатньо, щоб вона задовольняла дві умови: Система є покриттям простору X. Для будь-яких двох елементів B1, B2 системи і будь-якої точки x з їхнього перетину знайдеться деякий елемент B3 системи який містить точку х і є підмножиною перетину B1, B2.
Приклади
Якщо X і Y — топологічні простори з базами топологій і , тоді топологія на декартовому добутку X×Y задається за допомогою бази
При цьому топологія на X × Y не залежатиме від того, які бази просторів X і Y використовуються для її завдання. Така топологія називається (стандартною) топологією декартового добутку топологічних просторів.
Топологія простору дійсних чисел задається системою всіх інтервалів (а,b), яка складає базу цієї топології. Аналогічно топологія простору задається базою відкритих елементів і ця топологія, очевидно, збігається із стандартною топологією прямого добутку просторів.
Прикладом множини відкритих множин, що не є базою може бути наприклад множина інтервалів виду (−∞, a) і (a, ∞) де a — деяке дійсне число.
Пов'язані означення
Мінімум серед потужностей усіх баз називається вагою топологічного простору X. В просторі ваги існує усюди щільна множина потужності . Простори із зліченною базою називаються також просторами з другою аксіомою зліченності. Локальною базою простору X в точці (базою точки x) називається множина його відкритих множин, що задовольняє властивість: для будь-якого околу Ox точки x знайдеться елемент такий, що . Простори, що мають зліченну локальну базу в кожній точці, називаються просторами з першою аксіомою зліченності. Нехай — деякі кардинальні числа. База простору X називається -точковою, якщо кожна точка належить не більше ніж елементам сімейства . Зокрема, при база називається диз'юнктивною, при скінченному — точково скінченною, при — точково зліченною.
Властивості
Множина відкритих в X множин є базою тоді і тільки тоді, коли вона є локальною базою кожної точки простору X .
Варіації і узагальнення
Існує також двоїсте поняття замкнутої бази. Множина F підмножин топологічного простору називається замкнутою базою, якщо кожна відкрита підмножина може бути подана як перетин деяких елементів F. Передбаза — множина Y відкритих підмножин топологічного простору X така, що сукупність всіх множин, що є перетином скінченного числа елементів Y, утворює базу простору X.
Джерела
Willard, Stephen (1970) General Topology. Addison-Wesley. Reprinted 2004, Dover Publications.