Побудова за допомогою циркуля та лінійки або класична побудова, це побудова довжин, кутів, та інших геометричних фігур з використанням лише ідеалізованої лінійки та циркуля.
Ідеалізована лінійка, відома як , вважається нескінченною, не має міток і має лише один край. Вважається, що циркуль відривається від креслення, тому не може бути безпосередньо використаний для перенесення відстаней. Це несуттєве обмеження, оскільки використовуючи процедуру з великою кількістю кроків, відстань може бути знайдена навіть за умови, що циркуль піднімають над кресленням; див. . Формально кажучи, єдиними дозволеними конструкціями є такі, що надані трьома першими евклідовими постулатами.
Відомо, що будь-яка побудова з використанням лінійки та циркуля може бути виконана лише циркулем.
Математики стародавньої Греції вперше запровадили побудови за допомогою циркуля та лінійки, та ряд проблем у геометрії Евкліда накладають це обмеження. Стародавні греки розвинули багато побудов, хоча у деяких випадках не мали на це змоги. Гаусс продемонстрував, що деякі багатокутники можна побудувати, але не всі. Принципова неможливість розв'язання деяких найвідоміших проблем побудови були доведені П'єром Ванцелем в 1837 році, за допомогою математичної теорії полів.
Не зважаючи на наявні докази неможливості побудови, знаходяться люди, що завзято намагаються вирішити ці питання. Більшість з цих питань легко вирішити за умови, що інші геометричні перетворення допускаються: наприклад, подвоєння куба можна зробити за допомогою геометричних побудов, але це не можливо, якщо використовувати лише лінійку і циркуль.
З точки зору алгебри, довжина може бути побудована тоді й лише тоді, коли є числом, що можна побудувати, та кут можна побудувати лише за умови того, що його косинус — це число, яке можна побудувати. Число може бути побудоване тоді й лише тоді, якщо його можна записати з використанням чотирьох базових арифметичних операції та лише квадратного кореня, але не кореня іншого степеня.
Циркуль та лінійка
«Циркуль» та «лінійка», які використовуються для побудови — це ідеалізація реальних лінійки та циркуля. Тому припускається, що:
Циркуль може бути розгорнутим на довільну ширину, але (на відміну від деяких існуючих циркулів) на ньому нема розмітки. Кола можуть бути накреслені лише за двома заданими точками: центром та точкою на колі. Циркуль може (не обов'язково) зникати, коли він не малює коло. Лінійка нескінченно довга, але не має відміток, бо у неї є лише прямий край, на відміну від звичайних лінійок. Вона може бути використана лише для креслення відрізків між двома точками або для подовження наявних відрізків.
Сучасні циркулі зазвичай не збиваються, і деякі сучасні побудови використовують цю особливість. Здавалося б, що сучасний циркуль — це «більш потужний» інструмент аніж стародавні циркулі, що збиваються. Однак, за 2 Теоремою з 1 Книги Початків Евкліда, ефективність при використанні циркуля, що збивається, не втрачається. Хоча теорема правдива, її докази мають довгу, та мінливу історію.Godfried Toussaint, «A new look at Euclid's second proposition», The Mathematical Intelligencer, Vol. 15, No. 3, (1993), pp. 12-24.
Кожна побудова повинна бути точною. Наближене рішення (або використання деяких інструментів виміру, таких як поділки на лінійці) не враховується за розв'язок.
Кожна побудова має мати завершення. Тобто вона повинна складатись зі скінченної кількості кроків, і не може бути межею послідовних наближень.
Побудови за допомогою циркуля та лінійки скоріше виникли як , а не справжня, практична задача; але метою наведених обмежень є гарантія того, що така побудова може бути виконана цілковито правильно, і це важливо як для виконання креслень (при проектуванні у програмах САПР та традиційних креслень олівцем, циркулем та лінійкою на папері) так і науці мір та вагів, у яких точна передача з об'єктів або матеріалів дуже важлива. Однією з головних цілей грецької математики було знаходження точної побудови для різних довжин; наприклад, знаходження сторони п'ятикутника вписаного у коло. Також, серед побудов, які греки не могли віднайти побудову, найбільш відомі наступні три випадки:
Квадратура круга: Креслення квадрата з тією ж площею, що і дане коло. Подвоєння куба: Креслення куба з об'ємом, який буде вдвічі більший за об'єм даного куба. Трисекція кута: Поділ даного кута на три менші кути однакової градусної міри.
Протягом 2000 років люди намагались віднайти побудову за наведених умов, але їх зусилля не принесли потрібного результату. Наразі доведена неможливість розв'язання цих трьох проблем за математичними правилами (кути з деякими градусними мірами можуть бути поділені на три рівні частині, але не будь-який довільний кут).
Історія Математики стародавньої Греції вперше використали побудову за допомогою лінійки та циркуля, та відкрили як будувати суму, різницю, добуток, відношення та квадратний корінь даних довжин. Також вони могли конструювати половину даного кута, квадрат чиєї площі вдвічі більший за інший квадрат, квадрат, що має площу таку ж як даний багатокутник, та правильний багатокутник із трьома, чотирма або п'ятьма сторонами (або такий, що має удвічі більше сторін ніж даний багатокутник). Але вони не могли побудувати третину кута, за виключенням окремих випадків, або квадрат із такою ж площею, що і дане коло, або правильний багатокутник з іншою кількістю сторін.Bold, Benjamin. Famous Problems of Geometry and How to Solve Them, Dover Publications, 1982 (orig. 1969). Не могли вони, також, побудувати грань куба, чий об'єм був удвічі більший за об'єм куба з даною гранню.
Гіппократ та Менехм показали, що поверхня куба може бути подвоєна шляхом знаходження перетинів гіпербол та парабол, але вони не можуть бути побудовані циркулем та лінійкою. У п'ятому столітті до нашої ери, Гіппократ використовував криву що він називав квадратриса як для розділення на три загального кута та квадратури круга, а Нікомед у другому столітті до нашої ери показав, як використовувати конхоїду для поділу довільного кута на три; але ці методи також не можуть бути використані лише з циркулем та лінійкою.
Не було ніякого прогресу у вирішенні цих питань протягом двох тисячоліть, аж до 1796 року, поки Гаус показав, як побудувати правильний багатокутник з 17 сторонами; через п'ять років він навів достатні умови побудови правильного багатокутника з n сторонами.
У 1837 П'єр Ванцель опублікував доказ неможливості поділу на три частини довільного кута або подвоєння об'єму куба, Це доведення засноване на неможливості побудови кубічних коренів від довжин. Ще він показав, що достатні умови Гауса для побудови правильних багатокутників також є і необхідними.
Потім у 1882 році Ліндеманн показав, що це трансцендентне число, а отже не можливо побудувати за допомогою лінійки та циркуля квадрат із такою ж площею, що і дане коло.
Базові побудови
Усі побудови за допомогою лінійки та циркуля складаються з повторюваних додавань п'яти базових конструкцій, що використовують точки, лінії та кола, які вже були побудовані раніше. А саме:
Побудова прямої, що проходить через дві задані точки Побудова кола з заданим центром, що проходить через задану точку Побудова точки, що є точкою перетину двох заданих, не паралельних ліній. Побудова однієї чи двох точок перетину кола з прямою лінією (якщо вони перетинаються) Побудова однієї чи двох точок на перетині двох кіл (якщо вони перетинаються).
Наприклад, для двох заданих різних точок ми можемо побудувати пряму або будь-яке з двох кіл (послідовно, використовуючи кожну точку як центр, а іншу точку, як точку на колі). Якщо накреслити обидва кола, то дві нові точки будуть утворені на перетині кіл. Креслення ліній між двома початковими точками та однією з цих нових точок завершує побудову рівностороннього трикутнику.
Таким чином, у будь-якій геометричній задачі на побудову задано початковий набір символів (точок та ліній), алгоритм дій, та певні результати. З цієї точки зору, геометрія еквівалентна до аксіоматичної алгебри, з точністю до заміни елементів на символи. Ймовірно, Гаусс перший зрозумів це, та використав це для доказу неможливості деяких побудов; і лише через значний проміжок часу Гільберт винайшов повну систему геометричних аксіом.
Побудови за допомогою циркуля та лінійки що часто застосовуються
Існують такі побудови за допомогою лінійки та циркуля, що застосовуються найчастіше: Побудова серединного перпендикуляра для відрізка Знаходження середньої точки (див. приклад нижче) Креслення прямої, що проходить через задану точку та перпендикулярна заданій прямій Бісекція кута Відбиття точки відносно прямої Побудова прямої, що проходить через точку та дотична до кола Побудова кола, яке проходить через три не колінеарні точки
Знаходження середини відрізка
Для прикладу розглянемо наступну задачу.
Задача. За допомогою циркуля та лінійки поділити даний відрізок AB на дві рівні частини. Один з розв'язків показано на малюнку. Розв'язок складається з наступних кроків: Циркулем будуємо коло з центром в точці A радіусу AB. Будуємо коло з центром в точці B радіусу AB. Знаходимо точки перетину P та Q двох побудованих кіл. Лінійкою проводимо відрізок, що об'єднує точки P та Q. Знаходимо точку перетину AB та PQ. Це — шукана середина відрізка AB.
Точки і довжини, які можливо побудувати
Формальне доведення Існують багато різних методів доказу неможливості чого-небудь. Якомога ретельніше доведення потрібне для визначення межі можливого, та щоб показати те, що для вирішення проблеми ми повинні переступити цю межу. Більша частина того, що можливо побудувати визначається теоремою про пропорційні відрізки.
Ми можемо асоціювати алгебру із нашою геометрією використовуючи Декартову систему координат, утворену двома лініями, та представляють точки площині як вектори. Остаточно, ми можемо записати ці вектори як комплексні числа.
Використовуючи рівняння для ліній та кіл, можна показати, що точки їх перетину лежать у найменшого поля F, що містить дві точки на лінії, центр кола та радіус кола. Тобто вони утворюють числа вигляду , де x, y, та k лежать у F.
Оскільки поле точок, що можна побудувати замкнене відносно квадратних коренів, воно містить усі точки, які можна отримати скінченною послідовністю квадратичних розширень поля комплексних точок їх раціональними коефіцієнтами. Згідно з попереднім абзацом, можна показати, що будь-яка точка може бути отримана такою послідовністю розширень. Як наслідок цього, можна сказати, що мінімальний поліном для точки, що доступна до побудови (і через це будь-яка довжина, яку можна побудувати), має степінь 2. Зокрема будь-яка конструктивна точка (або довжина) це алгебраїчне число, однак не кожне алгебраїчне число є конструктивним (так зв'язок між конструктивною довжиною та алгебраїчним числом не є бієктивним); наприклад, алгебраїчне, але не конструктивне число.
Конструктивні кути Існує бієктивний зв'язок між кутами, які можна побудувати та точками, що конструктивні на будь-якому конструктивному колі. Конструктивні кути утворюють абелеву групу з модулем додавання (що відповідає множенню точок на одиничному колі, як комплексних чисел). Кути, що можна побудувати — це саме ті кути, тангенс яких (або так-само, синус чи косинус) є конструктивним як число. Наприклад, правильний сімнадцятикутник є конструктивним, бо
що віднайшов Гаус.
Група конструктивних кутів замкнена відносно операції ділення кутів навпіл (що відповідає взяттю квадратного кореня з комплексних чисел). Єдиними кутами фінітного порядку що можуть бути побудованими починаючи з двох точок є ті, чий порядок є або степенем двійки, або добутком степені двійки та множини різних чисел Ферма. Слід зауважити, що існує нескінченна щільна множина конструктивних кутів.
Побудова за допомогою циркуля та лінійки як комплексна арифметика Дано множину точок в Евклідовому просторі, обираємо одну з них за 0 та іншу за 1, разом з довільним вибором орієнтації дозволить нам розглядати ці точки як множину комплексних чисел.