Числа Бернуллі — послідовність раціональних чисел знайдена Якобом Бернуллі в зв'язку з обчисленням суми однакових степенів натуральних чисел: , де — біноміальний коефіцієнт.
Формула для чисел Бернуллі Для чисел Бернуллі існує наступна рекурентна формула:
Властивості
Всі числа Бернуллі з непарними номерами, крім , дорівнюють нулю, знаки міняються. Числа Бернуллі є значеннями при многочленів Бернуллі: .
Коефіцієнтами розкладу деяких елементарних функцій в степеневі ряди часто служать числа Бернуллі. Наприклад: Експоненційна генератриса для чисел Бернуллі: , , . Ейлер вказав на зв'язок між числами Бернуллі і значеннями дзета-функції Рімана при парних :
Із чого випливає для всіх n.
У математиці, числа Бернуллі Bn є послідовністю раціональних чисел, яка глибоко пов'язана з теорією чисел. Вони тісно пов'язані зі значеннями дзета-функції Рімана для від'ємних аргументів.
Є кілька означень для чисел Бернуллі. Найпоширенішим є Bn = 0 для всіх непарних n, крім 1 і B1 = −1/2, але деякі автори використовують B1 = +1/2 і деякі пишуть Bn для B2n. Значення перших ненульових чисел Бернуллі (більше значень нижче): n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 Bn 1 −1/2 1/6 0 −1/30 0 1/42 0 −1/30 0 5/66 0 −691/2730 0 7/6
Числа Бернуллі були відкриті приблизно в однаковий час швейцарським математиком Якобом Бернуллі, в честь якого вони названі, і незалежно японським математиком Секі Такакадзу. Відкриття Секі було опубліковане посмертно в 1712 році Selin, H. (1997), p. 891Smith, D. E. (1914), p. 108 у своїй роботі Katsuyo Sampo; Бернуллі, також посмертно, у своєму 1713 року.
Вони з'являються в розкладі в ряд Тейлора функцій тангенса і гіперболічного тангенса, у формулі Ейлера — Маклорена, і у виразах для деяких значень дзета-функції Рімана.
Значення чисел Бернуллі
BN = 0 для всіх непарних N'', відмінне від 1. B 1 = 1 / 2 або −1 / 2 в залежності від прийнятої конвенції (див. вище).
Примітки
Література
Абрамович В. Числа Бернуллі'', Квант, № 6, 1974;