Особлива точка кривої — будь-яка точка кривої, яка не є регулярною. (С. 519) Тобто в жодному околі точки не існує регулярної параметризації кривої.
Під цією назвою об'єднуються точки різного типу: (С. 244) — в яких крива сама себе перетинає; ізольовані точки — розташовані окремо від кривої, проте з координатами, які задовольняють рівнянню кривої; точки повернення або загострення — в яких напрям кривої змінюється на обернений; розрізняють точки повернення: 1-го роду і 2-го роду, в залежності від розташування гілок кривої стосовно дотичної; точки самодотику — в яких крива сама до себе дотикається; точки зламу — в яких крива «стрибком» змінює свій напрям причому на відміну від точки повернення дотичні до обох частин кривої в точці зламу різні; точки закінчення — на яких крива обривається; асимптотичні точки — точки, до яких крива наближається на нескінченно малу відстань. точки перегину — точки кривої, в яких змінюється знак кривини.
Алгебричні криві на площині Алгебраїчні криві на площині можна визначити як множину точок (x, y), які задовольняють рівняння виду f(x, y)=0, де f — поліноміальна функція f: R2 → R. Якщо f розписати як
Якщо початок системи координат (0, 0) знаходиться на кривій, тоді a0=0. Якщо b1≠0, то теорема про неявну функцію гарантує існування гладкої функції h, такої, що крива має вигляд y=h(x) біля початку СК. Аналогічно, якщо b 0 ≠ 0, то існує гладка функція k, так що крива може бути записана у вигляді x=k(y) біля початку СК. У будь-якому випадку є гладке відображення з R до площини, яка визначає криву в околі (0, 0). Зауважте, що у точці (0, 0)
тому крива не буде особливою в (0, 0), а саме, вона є регулярною у точці (0, 0), якщо хоча б одна з часткових похідних f не дорівнює нулю. Сингулярні точки — це точки на кривій, де обидві часткові похідні зникають:
Див. також Особлива точка для голоморфної функції
Примітки
Джерела