Теореми про ізоморфізми — це три теореми в абстрактній алгебрі, що описують зв'язок між гомоморфізмами, фактор-множинами і під-об'єктами.
Існують версії цих теорем для груп, кілець, модулів, векторних просторів, алгебр Лі та інших алгебраїчних структур. В універсальній алгебрі ці теореми узагальнюються через алгебри довільної сигнатури і конгруенції.
Групи
Перша теорема Якщо гомоморфізм груп, тоді: Ядро є нормальною підгрупою в ; Образ є підгрупою в ; Образ є ізоморфним до фактор-групи .
Друга теорема Якщо — група, — підгрупа в , — нормальна підгрупа в , тоді: Добуток є підгрупою в ; Перетин є нормальною підгрупою в ; Фактор-групи та є ізоморфними.
Третя теорема Якщо — група, , — нормальні підгрупи в , такі що , тоді:
є нормальною підгрупою в ; Фактор-група ізоморфна до .
Кільця Зміст теорем для кілець є подібним, але поняття нормальної підгрупи замінюється на ідеалом кільця.
Перша теорема Якщо гомоморфізм кілець, тоді: Ядро є ідеалом в ; Образ є підкільцем в ; Образ є ізоморфним до фактор-кільця .
Друга теорема Якщо — кільце, — підкільце в , — ідеал в , тоді: Сума є підкільцем в ; Перетин є ідеалом в ; Фактор-кільця та є ізоморфними.
Третя теорема Якщо — кільце, , — ідеали , такі що , тоді:
є ідеалом в ; Фактор-кільце ізоморфно до .
Модулі Теореми про ізоморфізм для векторних просторів та абелевих груп є частковим випадком теорем для модулів. Для векторних просторів детальніше див. Ядро та образ лінійного оператора.
Перша теорема Якщо гомоморфізм модулів, тоді: Ядро є підмодулем в ; Образ є підмодулем в ; Образ є ізоморфним до фактор-модуля .
Друга теорема Якщо — модуль, , — підмодулі в , тоді: Сума є підмодулем в ; Перетин є підмодулем в ; Фактор-модулі та є ізоморфними.
Третя теорема Якщо — модуль, , — підмодулі в , такі що , тоді:
є підмодулем в ; Фактор-множина ізоморфна до .
Див. також Теорема про гомоморфізми
Джерела