Спектральна теорема — в лінійній алгебрі та функціональному аналізі, певні результати для лінійних операторів щодо їх діагоналізації.
В загальному випадку, спектральна теорема про комутативні C*-алгебри.
Нормальні оператори в Гільбертових просторах
Спектральна теорема застосовується до нормальних операторів в Гільбертових просторах.
Вона дає канонічну декомпозицію по власних підпросторах векторного простору в якому вона діє.
Якщо лінійний оператор діє в векторному просторі тоді позначимо через: — власний підпростір, що відповідає власному значенню — ортогональний проєктор на
Тоді: — простір представляється як пряма сума власних підпросторів (тобто, власні підпростори є ортогональними). — лінійний оператор виражається через лінійну комбінацію ортогональних проєкторів.
Для простору нескінченної розмірності
де σ — спектр A, а P — ідемпотентний оператор.
Спектральна теорема є частковим випадком декомпозиції Шура та частковим випадком SVD.
Джерела