У математиці згладжуючі оператори — це окремі гладкі функції, що використовуються, наприклад, у теорії узагальнених функцій для побудови послідовностей гладких функцій, що наближають негладкі (узагальнені) функції, за допомогою згортки. Інтуїтивно кажучи, для заданої (узагальненої) функції, згортка за допомогою даного оператора дозволяє згладити кути, залишаючи при цьому схожий вигляд з початковою функцією.Тобто згладжена функція є близькою до початкової відносно топології заданого простору узагальнених функцій.
Вони також відомі як оператори Фрідріхса на честь .Див. .
Означення
Сучасне (розподільне) означення Нехай є гладкою функцією на , , покладемо для дійсного числа . Тоді називається згладуючим оператором, якщо вона задовольняє умовам:
має компактний носій, , ,
де — дельта-функція Дірака, а границю слід розуміти як границю в просторі Шварца. Якщо функція додатково задовольняє умову
для всіх ,
то вона називається додатним згладжуючим оператором. Якщо функція задовольняє умову
для деякої нескінченно диференційовної функції ,
то вона називається симетричним згладжуючим оператором.
Примітки до визначення Фрідріхса Примітка 1. Коли теорія узагальнених функцій ще не була широко відомою,Так само, як і тоді, коли опубліковано статтю за кілька років до того Лоран Шварц набув широко визнання завдяки своїм працям. властивість вище була сформульована так, що згортка функції з заданою функцією, що належить до власного гільбертового або банахового простору, збігається за метрикою цього простору при до цієї функції — саме це й зробив Фрідріхс.Див. , властивості PI, PII, PIII та їхні наслідки PIII0.
Примітка 2. Спочатку термін «згладжуючий оператор» визначався як даний оператор згорткиБільш того, в цьому контексті, зазначено: "Основним інструментом для доведення є певний клас операторів згладжування, що апроксимують одиничний оператор, — так звані «згладжуючі оператори»".Див. , параграф 2, «Integral operators».:
де і — гладка функція, яка задовольняє перші три умови, зазначені вище, та одну або декілька додаткових умов, як-от додатність та симетрія.
Конкретний приклад Розглянемо функцію підйому змінної в
де числова константа забезпечує нормалізацію. Ця функція є нескінченно диференційовною, неаналітичною з нульовою похідною при . Тому може бути використана як згладжуючий оператор, як описано вище: можна зауважити, що задає додатний та симетричний згладжуючий оператор.Див. , лему 1.2.3.: приклад формулюється в неявній формі шляхом попереднього означення
Властивості Усі властивості пов'язані з його поведінкою під дією операції згортки.Див. .
Властивість згладжування Для будь-якої узагальненої функції для додатного дійсного числа
де позначає згортку, задає сім'ю гладких функцій.
Наближення тотожності Для будь-якої узагальненої функції сім'я функцій, зазначена вище, збігається до , тобто
Носій згортки Для будь-якої узагальненої функції
,
де позначає носій в сенсі розподілів, а є сумою Мінковського.
Застосування Основне застосування згладжуючих операторів полягає в доведенні того, що властивості, справедливі для гладких функцій, також справедливі в негладких ситуаціях.
Добуток розподілів У деяких теоріях узагальнених функцій для визначення множення узагальнених функцій використовуються згладжуючі оператори. Якщо дані узагальнені функції і та границя добутку гладкої функції, отриманої з одного операнда шляхом згладжування, при цьому інший операнд визначає, коли він існує, то їхній добуток визначається так:
.
Слабке та сильне розширення Згладжуючі оператори використовуються для доведення тотожності двох різних видів розширення диференціальних операторів: сильного розширення та слабкого розширення.
Функції плавного відсікання Шляхом згортки характеристичної функції одиничної кулі з гладкою функцією (визначена як у при ), отримуємо функцію
що є гладкою функцією, яка дорівнює на , з носієм, що міститься в . Це легко побачити, якщо зауважити, що при і маємо . Отже, для
.
Можна зауважити, як цю конструкцію узагальнити для отримання гладкої функції, ідентичної одиниці в околі заданої компактної множини, і рівної нулю в кожній точці, відстань якої від цієї множини більша за задане число Доведення цього факту можна знайти в , теорема 1.4.1.. Така функція називається (гладкою) функцією відсікання; її використовують для усунення сингулярностей заданої (узагальненої) функції за допомогою множення. Вони залишають незмінним значення множеного на заданій множині, але змінюють його носій. Функції відсікання використовуються для побудови гладких розбиття одиниці.
Див. також Функція підйому Згортка Розподіл (математика) Узагальнена функція
Сергій Соболєв
Нотатки
Посилання . . A selection from Friedrichs' works with a biography and commentaries of David Isaacson, Fritz John, Tosio Kato, Peter Lax, Louis Nirenberg, Wolfgag Wasow, Harold Weitzner. . . .