Рівняння центру — кут між фактичним положенням тіла на його еліптичній орбіті та положенням, яке воно займало б, якби його рух був рівномірним по круговій орбіті з тим самим періодом. Воно визначається як різниця істинної аномалії та середньої аномалії . Зазвичай його представляють як функцію середньої аномалії та ексцентриситету орбіти .

Опис Ще з часів античності задачу прогнозування руху небесних тіл спрощували, зводячи її до руху одного тіла по орбіті навколо іншого. Обчислюючи положення тіла на орбіті, часто зручно спочатку припустити коловий рух. Тоді це перше наближення є просто сталою кутовою швидкістю, помноженою на проміжок часу. Однак реальним розв'язком у межах ньютонівської фізики є еліптична кеплерівська орбіта. Для таких орбіт легко знайти середню аномалію (а отже, і час) для заданої істинної аномалії (кутового положення планети навколо Сонця), перетворивши справжню аномалію на «ексцентричну аномалію»:

де (y, x) — кут між віссю x та променем із точки (0, 0) у точку (x, y), що має такий самий знак, як і y (зауважте, що в електронних таблицях порядок аргументів часто є зворотним), а потім за допомогою рівняння Кеплера знайти середню аномалію:

Якщо величина відома і потрібно знайти та , то рівняння Кеплера можна розв'язати чисельними методами, але існують також розв'язки у вигляді рядів, що містять синус .

У разі малого ексцентриситету положення, отримане за допомогою усіченого ряду, може бути досить точним. Багато досліджуваних орбіт, як-от орбіти тіл Сонячної системи або штучних супутників Землі, є такими майже коловими орбітами. Зі збільшенням ексцентриситету, коли орбіти стають більш еліптичними, точність усіченого ряду знижується. Якщо ряд подано як степеневий ряд за ексцентриситетом, то за великих значень ексцентриситету він перестає збігатися.

У сучасній формі цей ряд можна обірвати на будь-якому члені, і навіть якщо обмежитися лише найголовнішими доданками, він дає змогу легко обчислити наближене справжнє положення, коли висока точність не є критичною. Такі наближення можна використовувати, наприклад, як початкові значення для ітераційних розв'язків рівняння Кеплера, або під час обчислення часу сходу чи заходу світил, який через атмосферні явища неможливо передбачити з високою точністю.

Давні греки, зокрема Гіппарх, знали рівняння центру як , хоча їхнє розуміння геометрії руху планет було іншим. Слово рівняння (лат. aequatio) у нинішньому сенсі походить з астрономії. Його визначив і використовував Кеплер як змінну величину, визначену розрахунком, яку треба додати до середнього руху або відняти від нього, щоб отримати справжній рух. В астрономії термін рівняння часу має подібне значення. Рівняння центру в сучасному вигляді розробили в межах теорії збурень, тобто дослідження впливу третього тіла на рух двох тіл, at Google books.

Розклад у ряд

У кеплерівському русі координати тіла повторюють ті самі значення з кожним обертом, що відповідає означенню періодичної функції. Такі функції можна виразити як періодичні ряди від будь-якої кутової змінної, що неперервно зростає, і найцікавішою змінною є середня аномалія . Оскільки вона рівномірно зростає з часом, вираження будь-якої іншої змінної у вигляді ряду за середньою аномалією, по суті, є тим самим, що й вираження її через час. Хоча істинна аномалія є аналітичною функцією від , вона не є цілою функцією, тому степеневий ряд за матиме обмежену область збіжності. Проте ряд Фур'є, як періодична функція, збігатиметься всюди. Коефіцієнти цього ряду будують із функцій Бесселя, які залежать від ексцентриситету . Зауважте, що хоча ці ряди можна подати в усіченому вигляді, вони є собою суму нескінченної кількості членівVallado, David A. (2001). p. 80.

Ряд для , істинної аномалії, найзручніше виразити через , та функції Бесселя першого родуBrouwer, Dirk; Clemence, Gerald M. (1961). p. 77.:

де  — функції Бесселя, а

Brouwer, Dirk; Clemence, Gerald M. (1961). p. 62.

Кути в цю формулу треба підставляти в радіанах.

Функції Бесселя можна розкласти за степенями за формулоюBrouwer, Dirk; Clemence, Gerald M. (1961). p. 68.:

а  — якSmart, W. M. (1953). p. 32.:

Після підстановки та приведення подібних членів рівняння для набуває вигляду (обірвано на порядку ):

Перенісши у ліву частину, отримуємо ряд для рівняння центра:

Однак це наближення є неточним за великих значень (див. графік). Якщо обчислювати коефіцієнти через функції Бесселя, то наближення буде значно кращим за тієї самої максимальної частоти (наприклад, до ).

Цю формулу іноді подають за степенями з коефіцієнтами, вираженими через функції від (тут обірвано на порядку ),

що подібно до наведеної вище формиMoulton, Forest Ray (1914). pp. 171—172.. Такий ряд, якщо його не обривати, містить той самий нескінченний набір членів, але передбачає інший порядок їх додавання. Через це за малих ряд швидко збігається, але якщо перевищує «границю Лапласа» 0,6627…, то він розбігається для всіх значень (крім кратних π) — факт, який виявили та П'єр-Сімон Лаплас.

Приклади Рівняння центра досягає свого максимуму, коли ексцентрична аномалія дорівнює справжня аномалія дорівнює середня аномалія дорівнює а рівняння центру Ось кілька прикладів: ПланетаЕксцентриситетМаксимальне рівняння центра Наближення (ряд усічений на відповідному члені) е7 е3 е2 Венера 0,006777 0,7766° 0,7766° 0,7766° 0,7766° Земля 0,01671 1,915° 1,915° 1,915° 1,915° Сатурн 0,05386 6.173° 6.174° 6.174° 6.186° Марс 0,09339 10,71° 10,71° 10,71° 10,77° Меркурій 0,2056 23,64° 23,68° 23,77° 23,28°

Див. також

Небесна механіка Задача Кеплера Задача двох тіл

Примітки

Література

Marth, A. (1890). On the computation of the equation of the centre in elliptical orbits of moderate eccentricities. Monthly Notices of the Royal Astronomical Society, Vol. 50, p. 502. Gives the equation of the center to order e10. Morrison, J. (1883). On the computation of the eccentric anomaly, equation of the centre and radius vector of a planet, in terms of the mean anomaly and eccentricity. Monthly Notices of the Royal Astronomical Society, Vol. 43, p. 345. Gives the equation of the center to order e12. Morrison, J. (1883). Errata. Monthly Notices of the Royal Astronomical Society, Vol. 43, p. 494.