Вейвлет Рікера (також вейвлет «мексиканський капелюх», MHAT-вейвлет, сомбреровий вейвлет(), вейвлет Марра) — дійснозначний симетричний вейвлет, що з точністю до масштабування та нормування є від'ємною другою похідною гаусової функції. Є окремим випадком сімейства неперервних вейвелетів, відомих як ермітові вейвелети. Його нормовану форму можна записати як
де задає масштаб вейвлета. Вейвлет Рікера має нульове середнє, два зникальні моменти та не має компактного носія.
Вейвлет названо на честь американського геофізика Нормана Рікера, який досліджував форму та поширення сейсмічних імпульсів. У сейсмології його широко використовують як модель нуль-фазового сейсмічного імпульсу та для побудови синтетичних сейсмограм.
Двовимірне узагальнення вейвлета Рікера є, з точністю до знака й нормування, лапласіаном гаусової функції. У такій формі він застосовується в обробці зображень та комп'ютерному зорі.
Властивості Загальні властивості Вейвлет Рікера є дійсною парною та нескінченно диференційовною функцією. Він не має компактного носія, проте швидко спадає при . Завдяки парності його перетворення Фур'є є дійсним; для прийнятого вибору знака воно невід'ємне, тому вейвлет Рікера є нуль-фазовим. Вейвлет має два зникальні моменти та задовольняє умову допустимості для неперервного вейвлет-перетворення. У двох і більше вимірах його ізотропне узагальнення є радіально симетричним.
Частотні характеристики
Оскільки вейвлет Рікера є другою похідною гаусової функції, його перетворення Фур'є дорівнює спектру гаусової функції, помноженому на квадрат частоти, де спектром гаусової функції є гаусова функція з оберненою σ². Форма амплітудного спектра як функції модуля частоти, з точністю до нормування, збігається з густиною розподілу Максвелла:
Вейвлет Рікера є смуговим фільтром: множник відповідає за пригнічення сталої складової та низьких частот, тоді як гаусовий множник пригнічує високі частоти. Максимум спектра досягається за
а максимальна амплітуда дорівнює
Границі частотної смуги на рівні половини максимальної амплітуди становлять , а її ширина . Для смуги на рівні дБ , а ширина
Для центрованого вейвлета спектр є дійсним, парним і невід'ємним, тому його фазовий спектр дорівнює нулю всюди, де амплітуда ненульова. Отже, при використанні як фільтра вейвлет Рікера не вносить фазового зсуву.
Зникальні моменти Вейвлет Рікера має два зникальні моменти, тобто
Отже, вейвлет Рікера ортогональний до будь-якої лінійної функції . Це робить вейвлетне перетворення нечутливим до постійної складової та лінійного тренду сигналу й дозволяє виділяти локальні відхилення від них.
Наявність двох зникальних моментів безпосередньо пов'язана з тим, що вейвлет Рікера є другою похідною гаусової функції. У частотній області це проявляється як подвійний нуль при нульовій частоті:
тому поблизу спектр спадає пропорційно .
Часова та частотна локалізація
Наближення різницею гаусіанів
На практиці розрахунок лапласіана гаусіани нерідко замінюють його наближенням різницею гаусіан (). Для гаусового ядра
похідна за масштабом дорівнює
а друга похідна за координатою
Отже,
для двох близьких масштабів σ та σ+Δσ похідну можна наблизити скінченою різницею
Таким чином, різниця двох гаусових функцій із близькими масштабами, з точністю до знака та множника нормування, наближає вейвлет Рікера. На практиці DoG часто обчислювально вигідніша за безпосереднє обчислення похідних, особливо якщо гаусові згладжування для кількох масштабів уже отримано. При цьому за достатньо близьких масштабів DoG і відповідна похідна гаусової функції відрізняються незначно.
Для спрощення обрахунків гаусове ядро та його похідні на практиці іноді замінюють дискретними фільтрами із компактною підтримкою, наприклад, побудованими на базі кардинальних B-сплайнів.
Узагальнення та різновиди
Лапласіан гаусової функції
Одновимірний вейвлет Рікера є, з точністю до знака та нормування, другою похідною гаусової функції. В -вимірному декартовому просторі його узагальненням є лапласіан гаусової функції.
Для -вимірного гаусового ядра
лапласіан має вигляд
Відповідно, узагальнений вейвлет Рікера можна визначити, з точністю до множника нормування, як
За ця формула переходить у звичайний одновимірний вейвлет Рікера, а за його ядро, з точністю до знака та нормування, збігається з поширеним у обробці зображень фільтром лапласіан гаусіана (ЛГ, ).
Існують також анізотропні та еліптичні узагальнення. Зокрема, еліптичний вейвлет Рікета визначають як від'ємний лапласіан анізотропної гаусової функції.
Для -вимірної гаусової функції з коваріаційною матрицею
відповідне узагальнення має вигляд
Сферичний вейвлет Рікера
Для аналізу функцій, визначених на поверхні сфери, застосовують сферичний вейвлет Рікера (). Його не можна отримати простим перенесенням евклідового масштабування на сферу, оскільки сфера не має глобальної операції розтягнення, аналогічної масштабуванню площини.
Один із поширених варіантів SMHW отримують за допомогою стереографічної проєкції: звичайний двовимірний вейвлет Рікера масштабують у дотичній площині та відображають назад на сферу. Перенесенню вейвлета по сфері при цьому відповідають просторові обертання, а масштаб задає його характерний кутовий розмір. Така конструкція зберігає ізотропність, умову допустимості та нульовий інтеграл вейвлета, а в границі малих кутових масштабів переходить у звичайний двовимірний вейвлет Рікера.
Для функції на сфері вейвлетне перетворення утворює набір карт коефіцієнтів, параметризованих положенням на сфері та масштабом . Це дозволяє локалізувати структури одночасно за небесними координатами та характерним кутовим розміром.
Застосування Вейвлет Рікера природно застосовується для локалізації приблизно гаусових структур і визначення їхнього характерного масштабу. Такі задачі широко зустрічаються у найрізноманітніших галузях науки та техніки.
Сейсмологія Вейвлет Рікера історично пов'язаний із сейсмологією та особливо широко застосовується в розвідувальній сейсмології. Рікер досліджував форму, поширення та часово-частотне стискання сейсмічних імпульсів, зокрема їхній вплив на роздільну здатність сейсмічних записів.
Одним із типових застосувань є побудова синтетичних сейсмограм. У найпростішій одновимірній моделі сейсмічний запис подають як згортку коефіцієнтів відбиття із сейсмічним імпульсом :
Як модель такого імпульсу часто використовують вейвлет Рікера, зокрема завдяки його симетрії, нульовій фазі та простій параметризації через пікову частоту У задачах деконволюції, оцінювання сейсмічного імпульсу та інверсії вейвлет Рікера часто використовують як відому модель для синтетичних тестів.
Обробка зображень і комп'ютерний зір
У двовимірному випадку вейвлет Рікера відповідає, з точністю до знака та нормування, лапласіану гаусової функції (). Завдяки цьому він застосовується в низці класичних методів обробки зображень і комп'ютерного зору.
У задачах виявляння контурів контури можна визначати за перетинами нуля результату згортки з LoG. Такий підхід лежить в основі алгоритму Марра — Гілдрет, у якому гаусове згладжування пригнічує дрібномасштабний шум, а лапласіан виділяє зміни яскравості другого порядку.
Інше важливе застосування — виявляння плям. На заданому масштабі світлі та темні плямоподібні структури відповідають локальним екстремумам відгуку LoG. Якщо масштаб структури наперед невідомий, оператор обчислюють для набору масштабів і шукають екстремуми одночасно за просторовими координатами та масштабом. Для коректного порівняння відгуків на різних масштабах зазвичай використовують масштабно нормований лапласіан ; положення екстремуму за дає оцінку характерного розміру структури.
Таким чином, LoG застосовують не лише як окремий фільтр із фіксованим значенням , а й у багатомасштабних поданнях, де відгуки лапласіана обчислюють на послідовності масштабів. Такі подання використовують для виявляння та автоматичного вибору масштабу локальних структур, зокрема плям, контурів та інших особливостей зображення. На практиці масштабно нормований LoG часто наближують різницею гауссіанів, що, зокрема, використано в алгоритмі SIFT.
Мас-спектрометрія та хроматографія
Вейвлет Рікера застосовують для багатомасштабного виявлення піків у мас-спектрометричних та хроматографічних сигналах. Завдяки симетричній формі з одним центральним максимумом він добре узгоджується з формою багатьох експериментальних піків і використовується як материнський вейвлет у неперервному вейвлетному перетворенні.
Для кожного положення сигналу перетворення обчислюють на кількох масштабах, що відповідають різній характерній ширині піка. Максимуми коефіцієнтів, які зберігаються на послідовності масштабів, утворюють лінії хребтів () у просторі «положення — масштаб». Це дозволяє відрізняти стійкі піки від шумових флуктуацій, а масштаб найбільшого відгуку використовувати для оцінювання ширини піка.
Такий підхід реалізовано, зокрема, у програмному пакеті MassSpecWavelet для обробки мас-спектрів та в алгоритмі centWave пакета XCMS, де неперервне вейвлетне перетворення застосовують для виявлення хроматографічних піків різної ширини в LC-MS даних.
Астрономія Вейвлет Рікера та похідні від нього вейвлети широко застосовують в астрономічній обробці зображень переважно для багатомасштабного виявлення компактних і протяжних джерел. Алгоритми цього типу використовуються, зокрема, у програмному забезпеченні аналізу даних космічної обсерваторії XMM-Newton. На основі вейвлета Рікера було розроблено сімейство Mexican Hat Wavelet Family, член цього сімейства MHW2, використовувався в алгоритмах виявлення компактних джерел під час побудови каталогів космічної місії Планк.
Особливо широкого застосування вейвлет Рікета набув під час аналізу карт реліктового випромінювання . Сферичний вейвлет Рікера застосовували для статистичного аналізу структури реліктового випромінювання на різних кутових масштабах і пошуку відхилень від гаусової статистики. Зокрема, аналіз карт коефіцієнтів SMHW дозволив локалізувати негаусову особливість у даних WMAP, відому як Холодна пляма.
Вейвлет Рікера інтегровано у низку ключових програмних пакетів для обробки астрономічних даних: CIAO — офіційний пакет інструментів для обробки даних космічної обсерваторії «Чандра» розроблений Гарвардсько-Смітсонівським астрофізичним центром. Використовує двовимірний вейвлет Рікера для автоматичного пошуку та локалізації слабких точкових і слабопротяжних рентгенівських джерел на фоні пуассонівського шуму. — екосистема базових Python-бібліотек для астрономічних обчислень. У стандартний модуль згортки даних входять реалізації двовимірного та одновимірного вейвлетів Рікера, які застосовують для фільтрації зображень, пригнічення низькочастотних трендів та виділення локальних максимумів. TurbuStat — спеціалізований Python-пакет для аналізу астрофізичної турбулентності в міжзоряному середовищі. Реалізує класичний метод Гілла та Генріксена (), обчислюючи одновимірні спектри турбулентності на основі згортки карт випромінювання з вейвлетом Рікера.
Чисельне моделювання електромагнітних полів
Примітки
Джерела