Переріз Дедекінда () — це конструкція з математичного аналізу, запропонована Ріхардом Дедекіндом, за допомогою якої надається математично строге визначення дійсних чисел.
Визначення Переріз Дедекінда — це розбиття множини усіх раціональних чисел на дві непорожні підмножини A та B із властивостями, що A не має найбільшого елемента і будь-яке число з множини A менше від будь-кого числа з множини B. Множина A називається нижнім класом перерізу, а множина B — верхнім класом перерізу.
Будь-яке раціональне число x призводить до переріза Дедекінда, у якому
Оскільки множина B повністю визначена множиною A, а саме, B = Q\A, визначення перерізу Дедекінда часто надається в термінах нижнього класу. Таким чином, переріз Дедекінда — це множина A раціональних чисел із властивостями: A непорожня, А не становить усю множину раціональних чисел, А замкнута знизу, тобто якщо та то А не має найбільшого елемента, тобто для будь-якого знайдеться
Перерізи Дедекінда утворюють множину R, на якій можуть бути визначені операції додавання та множення, а також поняття порядку. Таким чином множина R перетворюється на упорядковане поле дійсних чисел. Якщо у верхньому класі є найменше число, то такий переріз відповідає раціональному числу, в іншому випадку — ірраціональному числу.
Приклади
Дійсному числу відповідає такий дедекіндів переріз: та . Інтуїтивно можна уявити, що для визначення , ми розділили множину раціональних чисел на дві частини: всі числа, що лівіше , та всі числа, що правіше ; тобто, є точною нижньою гранню множини
Див. також Аксіома Дедекінда
Джерела