Теорема Гаусса для гравітації — фізичний закон, еквівалентний закону всесвітнього тяжіння Ньютона. Вона названа на честь Карла Фрідріха Гаусса і стверджує, що потік (поверхневий інтеграл) гравітаційного поля над будь-якою замкнутою поверхнею пропорційний масі всередині цієї поверхні. Теорема Гаусса для гравітації часто зручніша для роботи, ніж закон Ньютона.
Форма теореми Гаусса для гравітації математично подібна до теореми Гаусса для електростатики, одного з рівнянь Максвелла. Теорема Гаусса для гравітації має такий самий математичний зв'язок із законом Ньютона, як теорема Гаусса для електростатики має із законом Кулона. Це пояснюється тим, що і закон Ньютона, і закон Кулона описують взаємодію, обернено пропорційну квадрату відстані, у тривимірному просторі.
Якісне формулювання теореми
Гравітаційне поле g (також називають прискоренням вільного падіння) — це векторне поле, тобто вектор у кожній точці простору (і часу). Його визначають так, що гравітаційна сила, яка діє на частинку, дорівнює добутку маси частинки на гравітаційне поле в цій точці.
Гравітаційний потік — це поверхневий інтеграл гравітаційного поля через замкнену поверхню, аналогічно до того, як магнітний потік є поверхневим інтегралом магнітного поля.
Теорема Гаусса для гравітації стверджує:
Гравітаційний потік через будь-яку замкнену поверхню пропорційний масі, яку вона охоплює.
Інтегральна форма Інтегральна форма теореми Гаусса для гравітації має вигляд:
де (також записують як ) позначає поверхневий інтеграл через замкнену поверхню, ∂V — будь-яка замкнена поверхня (межа довільного об'єму V), dA — це вектор, модуль якого дорівнює площі нескінченно малої ділянки поверхні ∂V, а напрямок збігається із зовнішньою нормаллю до поверхні (див. поверхневий інтеграл для докладнішого пояснення), g — гравітаційне поле, G — універсальна гравітаційна стала, і M — повна маса, що міститься всередині поверхні ∂V.
Ліву частину цього рівняння називають потоком гравітаційного поля. Згідно із теоремою, він завжди від'ємний (або дорівнює нулю) і ніколи не є додатним. Це можна порівняти із теоремою Гаусса для електростатики, де потік може бути як додатним, так і від'ємним. Відмінність полягає в тому, що електричний заряд може бути як додатним, так і від'ємним, тоді як маса може бути лише додатною.
Диференціальна форма Диференціальна форма теореми Гаусса для гравітації має вигляд
де позначає дивергенцію, g — гравітаційне поле, G — універсальну гравітаційну сталу, а ρ — густину маси в кожній точці.
Зв'язок з інтегральною формою Дві форми теореми Гаусса для гравітації математично еквівалентні. Формула Остроградського стверджує, щоде V — замкнена область, обмежена простою замкненою орієнтованою поверхнею ∂V, а dV — нескінченно мала частина об'єму V (див. для докладнішого пояснення). Гравітаційне поле g має бути неперервно диференційовним векторним полем, визначеним у деякому околі V.
Також маючиможемо застосувати теорему про дивергенцію до інтегральної форми теореми Гаусса для гравітації, яка набуває виглядущо можна переписати якЦе рівняння має виконуватися одночасно для кожного можливого об'єму V; єдиний спосіб, у який це можливо, полягає в тому, що підінтегральні вирази рівні. Отже, отримуємощо є диференціальною формою теореми Гаусса для гравітації.
Так само можна вивести інтегральну форму з диференціальної, використовуючи зворотний порядок міркувань.
Хоча дві форми теореми еквівалентні, одна з них може бути зручнішою за іншу для певних обчислень.
Зв'язок із законом Ньютона
Виведення теореми Гаусса із закону Ньютона
Теорему Гаусса для гравітації можна вивести із закону всесвітнього тяжіння Ньютона, який стверджує, що гравітаційне поле, створене точковою масою, має вигляд:де er — радіальний одиничний вектор, r — радіус, |r|, M — маса частинки, яку вважають точковою масою, розташованою в початку координат.
Доведення за допомогою векторного аналізу наведено в рамці нижче. Воно математично ідентичне доведенню теореми Гаусса в електростатиці на основі закону Кулона. +Нарис доведення. g(r), гравітаційне поле в точці r, можна обчислити, підсумувавши внесок у g(r) від кожної частини маси у Всесвіті (див. принцип суперпозиції). Для цього інтегруємо за всіма точками s простору, додаючи внесок у g(r), пов'язаний із масою (якщо вона є) у точці s, причому цей внесок обчислюється за законом Ньютона. Отримуємо: (d3s позначає dsxdsydsz, кожен із яких інтегрується від −∞ до +∞.) Якщо взяти дивергенцію обох частин цього рівняння за змінною r і використати відому теоремуНаприклад, де δ(r) — дельта-функція Дірака, то отримаємо Згортаючи дельта-функцію Дірака, отримуємо що є диференціальною формою формули Гаусса для гравітації, як і вимагалося.
Виведення закону Ньютона із теореми Гаусса та потенціальності Неможливо математично довести закон Ньютона лише із теореми Гаусса, оскільки теорема Гаусса задає дивергенцію g, але не містить інформації про ротор g (див. ). Окрім теореми Гаусса, потрібно припустити, що g є потенціальним (має нульовий ротор), оскільки гравітація є консервативною силою: . Навіть цього недостатньо: для доведення закону Ньютона також потрібні граничні умови для g, наприклад припущення, що поле прямує до нуля на нескінченній відстані від маси.
Доведення закону Ньютона з цих припущень має такий вигляд: Нарис доведення. Почнемо з інтегральної форми закону Гаусса:Застосуємо цей закон до випадку, коли об'єм V є сферою радіуса r із центром у точковій масі M. Логічно очікувати, що гравітаційне поле точкової маси має сферичну симетрію. (Ми опускаємо доведення для простоти.) За цим припущенням g має такий вигляд:(Тобто напрямок g протилежний до напрямку r, а величина g залежить лише від модуля, а не від напрямку r). Підставляючи це і враховуючи, що ∂V є сферичною поверхнею зі сталим r та площею , , , , , що і є законом Ньютона.
Рівняння Пуассона та гравітаційний потенціал Оскільки гравітаційне поле має нульовий ротор (тобто гравітація є консервативною силою), як зазначалося вище, його можна записати як градієнт скалярного потенціалу, який називають гравітаційним потенціалом:Тоді диференціальна форма теореми Гаусса для гравітації перетворюється на рівняння Пуассона:Це дає альтернативний спосіб обчислення гравітаційного потенціалу та гравітаційного поля. Хоча обчислення g за допомогою рівняння Пуассона математично еквівалентне прямому обчисленню g із теореми Гаусса, в конкретній ситуації один із цих підходів може бути простішим.
У радіально-симетричних системах гравітаційний потенціал залежить лише від однієї змінної (а саме ), і рівняння Пуассона набуває вигляду (див. Оператор набла у різних системах координат):тоді як гравітаційне поле має вигляд
Під час розв'язання рівняння слід враховувати, що у випадку скінченних густин ∂ϕ/∂r має бути неперервною на межах (де густина зазнає розривів), а також дорівнювати нулю при .
Застосування
Теорему Гаусса можна використовувати для простого виведення гравітаційного поля в деяких випадках, коли пряме застосування закону Ньютона було б складнішим (але не неможливим). Див. статтю для докладнішого опису таких виведень. Три приклади застосування наведено нижче.
Пластина Бугера Можна зробити висновок, що для нескінченної плоскої пластини () будь-якої скінченної товщини гравітаційне поле за межами пластини спрямоване перпендикулярно до неї, у бік пластини, а його величина дорівнює 2πG, помноженому на масу на одиницю площі, незалежно від відстані до пластиниThe mechanics problem solver, by Fogiel, pp 535–536 (див. також Гравітаційна аномалія).
У загальнішому випадку для такого розподілу маси, коли густина залежить лише від однієї декартової координати z, гравітація для будь-якого значення z дорівнює 2πG, помноженому на різницю маси на одиницю площі по різні боки від цього значення z.
Зокрема, дві паралельні нескінченні пластини з однаковою масою на одиницю площі не створюють гравітаційного поля між ними.
Циліндрично-симетричний розподіл маси
У випадку нескінченного однорідного (за координатою z) циліндрично-симетричного розподілу маси можна зробити висновок (використовуючи циліндричну гауссову поверхню), що напруженість поля на відстані r від центра спряямована всередину і має величину 2G/r, помножену на загальну масу на одиницю довжини, розташовану ближче до осі, незалежно від наявності мас на більшій відстані.
Наприклад, усередині нескінченного однорідного порожнистого циліндра поле дорівнює нулю.
Сферично-симетричний розподіл маси У випадку сферично-симетричного розподілу маси можна зробити висновок (використовуючи сферичну гауссову поверхню), що напруженість поля на відстані r від центра спрямована всередину і має величину G/r2, помножену лише на загальну масу, що міститься всередині сфери радіуса r. Уся маса на більшій відстані від центра, ніж r, не створює результуючого ефекту.
Наприклад, порожня сфера не створює всередині себе результуючого гравітаційного поля. Гравітаційне поле всередині такої сфери таке саме, якби порожньої сфери не існувало (тобто результуюче поле створюють усі маси, за винятком самої сфери; вони можуть бути як усередині, так і за межами сфери).
Хоча цей результат випливає з одного або двох рядків алгебраїчних перетворень теореми Гаусса для гравітації, Ісааку Ньютону знадобилося кілька сторінок складних обчислень, щоб безпосередньо вивести його зі свого закону тяжіння; див. статтю для цього прямого виведення.
Виведення з лагранжіана
Густина Лагранжіана для ньютонівської гравітації має виглядЗастосовуючи Гамільтонів принцип до цього лагранжіана, отримуємо теорему Гаусса для гравітації:
Див. також Карл Фрідріх Гаусс Формула Остроградського Теорема Гаусса для електрики
Примітки
Література