У зв'язному графі, центральність близькості (або близькість) вузла є мірою центральності в мережі, що обчислюється як обернена величина суми довжин найкоротших шляхів між вузлом та всіма іншими вузлами в графі. Таким чином, чим центральніший вузол, тим ближче він до всіх інших вузлів.

Близькість була визначена Бавеласом (1950) як величина, обернена до відстані, тобто:

де  — відстань (довжина найкоротшого шляху) між вершинами і Цю ненормалізовану версію близькості іноді називають статусом. Говорячи про центральність за близькістю, зазвичай мають на увазі її нормалізовану форму, яка відображає середню довжину найкоротших шляхів, а не їхню суму. Вона зазвичай визначається множенням попередньої формули на , де  — кількість вузлів у графі, що дає:

Нормалізація близькості спрощує порівняння вузлів у графах різних розмірів. Для великих графів мінус одиниця в нормалізації стає несуттєвою і часто її опускають.

Як один із найстаріших показників центральності, близькість часто згадується в загальних обговореннях показників центральності мережі у вступних текстах або у статтях, що порівнюють різні показники центральності. Значення, отримані за допомогою багатьох показників центральності, можуть бути сильно корельованими. Зокрема, було показано що близькість і ступінь пов'язані в багатьох мережах через приблизний зв'язок.

де  — степінь вершини , тоді як і β є параметрами, які визначаються шляхом підбору відповідності між близькістю та степенем до цієї формули. Параметр z представляє коефіцієнт галуження, тобто середній степінь вузлів (за винятком кореневого вузла та листків) дерев найкоротших шляхів, які використовуються для апроксимації мереж під час демонстрації цього зв'язку. Цей зв'язок ніколи не є точним, проте він відображає тенденцію, що спостерігається в багатьох реальних мережах.

Близькість пов'язана з іншими шкалами довжини, що використовуються в мережевій науці. Наприклад, середня довжина найкоротшого шляху , середня відстань між вершинами в мережі, це просто середнє значення оберненої близькості

.

Визначення відстаней від або до всіх інших вузлів не має значення в неорієнтованих графах, тоді як в орієнтованих графах це може призвести до зовсім інших результатів (наприклад, веб-сайт може мати високу центральність близькості для вихідних посилань, але низьку центральність близькості для вхідних посилань).

Застосування Близькість використовується в багатьох різних сферах. У бібліометрії близькість застосовується для дослідження того, як науковці обирають журнали та бібліографічні джерела в різних галузях, а також для оцінювання впливу автора на певну галузь і його соціального капіталу. Під час використання для вибору потенційних клієнтів близькість забезпечує значне підвищення рівня успішності. Було показано, що близькість міста в мережі повітряного транспорту тісно пов'язана із соціально-економічними показниками, такими як валовий регіональний внутрішній продукт. Близькість також застосовується для аналізу біологічних мереж. Наприклад, її використовували для ідентифікації понад 50 % глобальних регуляторів серед 2 % генів із найвищим рейтингом, а також було встановлено, що незамінні гени мають вищі значення близькості порівняно з несуттєвими генами в мережах білкових взаємодій. У метаболічних мережах близькість вузлів може використовуватися для визначення найважливіших метаболітів.

У незв'язаних графах Коли граф не є сильно зв'язним, Бошан у 1965 році запропонував ідею використання суми оберненої величини відстаней замість оберненої величини суми відстаней, дотримуючись домовленості :

Модифікація Бошана дотримується (набагато пізніше в часі) загального принципу, запропонованого Марчіорі та Латорою (2000), що в графах з нескінченними відстанями гармонійне середнє поводиться краще, ніж середнє арифметичне. Дійсно, близькість Бавеласа можна описати як денормалізовану обернену величину середнього арифметичного відстаней, тоді як центральність Бошана є оберненою величиною середнього гармонічного відстаней.

Ця ідея кілька разів з'являлася в літературі, часто без фактора нормалізації. : для неорієнтованих графів під назвою оцінена центральность Деккером (2005) та під назвою гармонічна центральность Рошатом (2009); якщо це було аксіоматизовано Гаргом (2009) та запропоновано знову пізніше Опсалом (2010). Його вивчали на загальних орієнтованих графах Болді та Вінья (2014). Ця ідея також досить схожа на ринковий потенціал, запропонований Гаррісом (1954), який зараз часто називають доступом до ринкуGutberlet, Theresa. Cheap Coal versus Market Access: The Role of Natural Resources and Demand in Germany's Industrialization. Working Paper. 2014..

Варіанти Дангальчев (2006) у роботі про мережеву вразливість пропонує для неорієнтованих графів інше визначення:

Це визначення ефективно використовується для незв'язаних графів і дозволяє створювати зручні формули для операцій з графами. Наприклад:

Якщо графік створюється шляхом зв'язування вузла графіка до вузла графіка тоді комбінована близькість дорівнює:

якщо графік створюється шляхом згортання вузла графіка і вузол графіка в один вузол, тоді близькість становить:

Якщо графік є тіньовим графіком графіка , який має вузли, тоді близькість — це:

Якщо графік є терновим графіком графіка , який має вузли, тоді близькість — це:

Природним узагальненням цього визначення є:

де належить (0,1). Оскільки зростає від 0 до 1, узагальнена близькість змінюється з локальної характеристики (ступінь) на глобальну (кількість пов'язаних вузлів).

Інформаційна центральність Стівенсона та Зелена (1989) — це ще один показник близькості, який обчислює середнє гармонічне відстаней опору до вершини x, яке менше, якщо x має багато шляхів малого опору, що з'єднують її з іншими вершинами.

У класичному визначенні центральності за близькістю поширення інформації моделюється за допомогою найкоротших шляхів. Ця модель може бути не найбільш реалістичною для всіх типів комунікаційних сценаріїв. Тому для вимірювання близькості були запропоновані альтернативні визначення, зокрема центральність за близькістю на основі випадкового блукання, введена Нохом і Рігером (2004). Вона вимірює швидкість, з якою повідомлення, що здійснюють випадкове блукання, досягають певної вершини з іншої точки графа. Ієрархічна близькість Трана і Квона (2014) є розширенням центральності за близькістю, яке додатково враховує обмеження близькості в графах, що не є сильно зв'язаними. Ієрархічна близькість явно враховує інформацію про діапазон інших вузлів, на які може впливати певний вузол.

Див. також

Центральність

Посилання