У загальній теорії відносності розв'язок де Сіттера-Шварцшильда описує чорну діру в причинній ділянці моделі де Сіттера . Це випадок позитивної кривини метрики Коттлера. На відміну від чорної діри в плоскому просторі, існує найбільша можлива чорна діра де Сіттера, якою є простір-час Наріаї (названий на честь ). Границя Наріаї не має сингулярностей, космологічний горизонт та горизонт чорної діри мають однакову площу, і їх можна зіставити один з одним за допомогою дискретної симетрії відбиття в будь-якій причинній області.
Вступ У загальній теорії відносності простори-часи можуть мати горизонти подій чорних дір, а також космологічні горизонти. Розв'язок де Сіттера-Шварцшильда є найпростішим розв'язком, який має, в свою чергу, обидва.
Метрика Метрика будь-якого сферично симетричного розв'язку у формі Шварцшильда дорівнює:
Вакуумні рівняння Ейнштейна дають лінійне рівняння для , який має як розв'язки:
Перший — це розв'язок з нульовим напруженням та енергією, що описує чорну діру у порожньому просторі-часі, другий (де b додатнє) описує простір де Сіттера з енергією напруження, що має додатну космологічну константу величини 3b. Суперпозиція двох розв'язків дає відповідно розв'язок де Сіттера-Шварцшильда:
Два параметри та задають масу чорної діри та космологічну сталу відповідно. У розмірності, спад степеневого закону в частині чорної діри має показник .
У розмірності, де показник степеня дорівнює нулю, аналогічне рішення починається з простір де Сіттера, вирізає клин і склеює дві сторони клина разом, утворюючи конічний простір .
З геодезичного рівняння
отримуємо
для радіального, та
та часового компонентів.
Властивості Horizon Простір де Сіттера — це найпростіший розв'язок рівняння Ейнштейна з позитивною космологічною постійною. Він сферично симетричний і має космологічний горизонт навколо будь-якого спостерігача, і описує Всесвіт, що розширюється. Розв'язок Шварцшильда є найпростішим нетривіальним сферично симетричним розв'язком рівнянь Ейнштейна за нульової космологічної сталої. Він описує простір-час навколо чорної діри з горизонтом подій у порожньому Всесвіті. Простір-час де Сіттера–Шварцшильда поєднує властивості розв'язків Шварцшильда та де Сіттера й описує чорну діру, сферично розташовану у Всесвіті де Сіттера. Спостерігач, який не перетнув горизонт подій чорної діри та все ще може її спостерігати попри космологічне розширення, перебуває в області між горизонтом чорної діри та космологічним горизонтом.
У напівкласичному наближенні космологічний горизонт де Сіттера може розглядатися як такий, що поглинає або випромінює, залежно від обраної системи відліку. Аналогічно, для чорної діри, яка існує протягом тривалого часу, горизонт подій можна інтерпретувати як поглинаючий або випромінюючий залежно від того, чи розглядається точка зору акретованої матерії, що падає всередину, чи випромінювання Гокінга, яке виходить назовні. Спираючись на термодинамічні міркування, Гокінг стверджував, що минулий горизонт білої діри є фізично еквівалентним майбутньому горизонту чорної діри, а отже, минулий і майбутній горизонти можна вважати фізично тотожними. Ця ідея отримала подальший розвиток у концепції комплементарності чорної діри, запропонованій Леонардом Сасскіндом. Відповідно до цієї теорії, будь-які внутрішні області розв'язку чорної діри, незалежно від того, чи розглядаються вони в контексті минулого або майбутнього горизонту, можуть бути голографічно пов'язані через унітарне перетворення базису з квантово-механічним описом самого горизонту.
Розв'язок Наріаї являє собою граничний випадок найбільшої можливої чорної діри в просторі-часі, який на великих відстанях наближається до простору де Сіттера. Такий простір-час містить два горизонти: космологічний горизонт де Сіттера та горизонт подій чорної діри Шварцшильда. Для чорних дір малої маси ці горизонти суттєво відрізняються: у центрі чорної діри наявна сингулярність, тоді як за космологічним горизонтом сингулярності немає. У межі Наріаї маса чорної діри збільшується доти, доки площа її горизонту подій не зрівнюється з площею космологічного горизонту де Сіттера. У цьому граничному випадку простір-час стає регулярним, сингулярність чорної діри віддаляється до нескінченності, а обидва горизонти виявляються пов'язаними симетрією простору-часу.
У межі Наріаї чорну діру та горизонт де Сіттера можна поміняти місцями, просто змінивши знак координати . Коли є додаткова густина матерії, розв'язок можна уявити як сферичний Всесвіт Ейнштейна з двома антиподальними чорними дірами. Яка б чорна діра не стала більшою, вона стане космологічним горизонтом.
Розв'язок Наріаї Починаючи з метрики де Сіттера-Шварцшильда
з
Два параметри та задають масу чорної діри та космологічну сталу відповідно. У вищих вимірах степеневий закон для частини чорної діри є швидшим.
Коли мале, має два нулі при додатних значеннях , які є розташуванням чорної діри та космологічного горизонту відповідно. Зі збільшенням параметра , залишаючи космологічну константу фіксованою, два додатні нулі зближуються. При деякому значенні вони стикаються.
Наближаючись до цього значення , чорна діра та космологічний горизонти матимуть майже однакове значення . Але відстань між ними не прямує до нуля, оскільки f (r) дуже мала між двома нулями, а квадратний корінь з її оберненої величини інтегрується до скінченного значення. Якщо два нулі f знаходяться в точці R + ε та R − ε. Взяття ε з малою межею ε та перемасштабування r для усунення залежності від ε дає розв'язок Наріаї.
Форма f поблизу майже подвійного нуля через нову координату u, задану як має вигляд:
Метрика причинно-наслідкового шару між двома горизонтами зводиться до
що є метрикою Ця форма є локальною для спостерігача, затиснутого між чорною дірою та космологічним горизонтом, які виявляють свою присутність як два горизонти в точці z = − R та z = R відповідно.
Координату z можна замінити глобальною координатою для 1 + 1-вимірної частини простору де Сіттера, а тоді метрику можна записати як:
У цих глобальних координатах ізотропія простору де Сіттера зміщує ізометрії координати x, так що можна ототожнити x з x + A, і перетворити просторовий вимір на коло. Радіус кола з постійним часом експоненціально розширюється в майбутнє та минуле, і це початкова форма Наріаї.
Обертання одного з горизонтів у просторі Наріаї змушує інший горизонт обертатися у протилежному напрямку. Це прояв принципу Маха в самодостатніх причинно-наслідкових ділянках, якщо космологічний горизонт включено як «матерію», як і його симетричний аналог, чорну діру.
Температура Гокінга Температуру малого та великого горизонтів у задачі де Сіттера-Шварцшильда можна розрахувати як період уявного часу розв'язку або, що еквівалентно, як поверхневу силу тяжіння поблизу горизонту. Температура меншої чорної діри відносно більша, тому існує тепловий потік від меншого до більшого горизонту. Величину, яка є температурою чорної діри, важко визначити, оскільки немає асимптотично плоского простору для її вимірювання.
Кривизна Ненульові компоненти тензора кривини Річчі для метрики де Сіттера-Шварцшильда такі:
і скаляр кривизни Річчі
Див. також
Простір Де Сіттера Простір Анти-де-Сіттера Всесвіт Де Сіттера Метрика Керра-Ньюмена-де-Сіттера Листування з питань реклами/фінансування тероризму
Посилання