«Про величини і відстані Сонця і Місяця» () — текст давньогрецького астронома Гіппарха (), в якому зроблено наближені розрахунки радіусів Сонця та Місяця, а також їхніх відстаней від Землі. Текст не зберігся, але деякі його фрагменти збереглися в працях Птолемея та його коментатора Паппа Александрійського. Кілька сучасних істориків намагалися реконструювати методи Гіппарха, використовуючи наявні тексти.

Джерела Більшість відомостей про текст Гіппарха походить із двох античних джерел: Птолемея й Паппа. Цю працю також згадує та інші автори, однак їхні свідчення виявилися менш корисними для відтворення методів Гіппарха.

Птолемей

У «Альмагесті» (V, 11) Птолемей пише:

Отже, Гіппарх провів таке дослідження переважно на основі Сонця. Оскільки з інших властивостей Сонця й Місяця (які буде розглянуто нижче) випливає, що якщо відома відстань до одного з цих світил, то відома і відстань до іншого, він намагається, припускаючи відстань до Сонця, вивести відстань до Місяця. Спочатку він припускає, що Сонце має найменший помітний паралакс, щоб визначити його відстань. Після цього він використовує наведене ним сонячне затемнення, спершу виходячи з того, що Сонце не має помітного паралакса, і саме з цієї причини співвідношення відстаней Місяця здавалися йому різними для кожної з висунутих гіпотез. Що ж до Сонця, то не лише величина його паралакса, а й саме питання, чи має воно паралакс узагалі, залишається цілком сумнівним.

Цей уривок подає загальну схему дій Гіппарха, але не містить подробиць. Птолемей, очевидно, не погоджувався з використаними Гіппархом методами, тому не вдавався до детального викладу.

Папп Александрійський

Праці Гіппарха ще існували на час, коли Папп писав свій коментар до «Альмагеста» у IV столітті. Він доповнює деякі подробиці, які опустив Птолемей:

Отже, Гіппарх провів таке дослідження переважно на основі Сонця, і зробив це неточно. Оскільки Місяць у сизигіях і поблизу найбільшої відстані здається рівним Сонцю, а також відомі розміри діаметрів Сонця і Місяця (це буде розглянуто нижче), то випливає, що якщо відома відстань до одного з цих світил, то відома і відстань до іншого, як у теоремі 12: якщо відома відстань до Місяця і діаметри Сонця і Місяця, то відома й відстань до Сонця. Гіппарх намагається, припускаючи паралакс і відстань до Сонця, довести відстань до Місяця, але щодо Сонця не лише величина його паралакса, а й саме питання, чи має воно паралакс узагалі, залишається цілком сумнівним. Таким чином, Гіппарх сумнівався щодо Сонця не тільки в величині його паралакса, а й у тому, чи має воно його взагалі. У першій книзі «Про величини і відстані» припускається, що Земля має щодо Сонця співвідношення точки і центра. І за допомогою наведеного ним затемнення…

А далі:

Адже в книзі 1 «Про величини і відстані» він бере таке спостереження: сонячне затемнення, яке в областях поблизу Геллеспонту було повним, так що жодна частина сонячного диска не була видима, тоді як в Александрії в Єгипті було затемнено приблизно чотири п'ятих диска. За допомогою цього він показує в книзі 1, що в одиницях, де радіус Землі дорівнює одиниці, найменша відстань до Місяця становить 71, а найбільша — 83. Отже, середня дорівнює 77… Далі в книзі 2 «Про величини і відстані» він сам показує на підставі багатьох міркувань, що в одиницях, де радіус Землі дорівнює одиниці, найменша відстань до Місяця становить 62, середня — 67, а відстань до Сонця — 490. Очевидно, що найбільша відстань до Місяця становить 72.

Цей уривок містить достатньо деталей, щоб здійснити реконструкцію. Зокрема, він чітко показує, що існували дві окремі процедури, і наводить точні результати кожної з них. Також подано підказки для ідентифікації затемнення і зазначено, що Гіппарх використовував формулу «як у теоремі 12» — теоремі Птолемея, яка збереглася.

Сучасні реконструкції Кілька істориків науки намагалися відтворити обчислення, виконані у праці «Про величини і відстані». Першу спробу здійснив у 1900 році, однак згодом її відкинув у 1969 році. розвинув ці дослідження у 1974 році.

Гульч

Фрідріх Гульч у статті 1900 року дійшов висновку, що текст у Паппа було переписано з помилкою, і що фактична відстань до Сонця, обчислена Гіппархом, становила 2490 радіусів Землі (а не 490). Як і в англійській, у грецькому записі ці результати відрізняються лише одним символом.

Свої висновки він ґрунтував на тексті , де зазначено, що Гіппарх вважав Сонце у 1880 разів більшим за Землю, а Землю — у 27 разів більшою за Місяць. Якщо припустити, що йдеться про об'єми, то маємо

та

Якщо припустити, що Сонце і Місяць мають однаковий видимий розмір на небі, а відстань до Місяця становить 67 радіусів Землі, тоді

Цей результат загалом приймали протягом наступних сімдесяти років, доки не переглянув це питання.

Реконструкція книги 2 (Свердлов)

Свердлов встановив, що Гіппарх пов'язував відстані до Сонця і Місяця за допомогою побудови, яку пізніше використав Птолемей. Цілком імовірно, що саме Гіппарх уперше розробив цей метод, адже він був одним з головних джерел для Альмагесту.

Застосувавши цю побудову, Свердлов зміг узгодити два результати Гіппарха (67 для Місяця і 490 для Сонця). Щоб отримати цю залежність точно, потрібно дотримуватися дуже точного набору наближень.

Використовуючи прості тригонометричні тотожності, маємо

та

Із властивостей паралельних прямих і поклавши t = 1, отримуємо

Із подібності трикутників

Поєднуючи ці рівняння, дістаємо

Значення, які Гіппарх використовував для цих величин, наведено в «Альмагесті» Птолемея (IV, 9). Там зазначено, що Гіппарх визначив, що Місяць приблизно 650 разів укладається у власному колі, а кутовий діаметр тіні Землі у 2,5 раза більший за діаметр Місяця. Папп повідомляє, що Гіппарх приймав середню відстань до Місяця рівною 67. Отже, маємо:

ВеличинаЗначення67

За Свердловом, Гіппарх обчислив цей вираз, використовуючи такі округлення (значення подано в шістдесятковій системі):

та

Тоді, оскільки

випливає, що

Свердлов використав цей результат, щоб довести, що значення 490 є правильним читанням тексту Паппа, і таким чином спростував інтерпретацію Гульча. Хоча цей результат суттєво залежить від конкретних наближень і округлень, його загалом прийняли. Водночас залишається відкритим питання, звідки походить значення відстані до Місяця 67.

Спираючись на Паппа і Птолемея, Свердлов припустив, що Гіппарх оцінював 490 радіусів Землі як мінімально можливу відстань до Сонця. Така відстань відповідає сонячному паралаксу 7′, що, ймовірно, було максимальною величиною, яку він вважав ще непомітною (типова роздільна здатність людського ока становить близько 2′). Отриману вище формулу для відстані до Сонця можна обернути, щоб визначити відстань до Місяця:

Підставивши ті самі значення кутів і прийнявши 490 радіусів Землі як мінімальну відстань до Сонця, отримуємо, що максимальна середня відстань до Місяця дорівнює

Тумер розвинув цей підхід і зауважив, що зі зростанням відстані до Сонця до нескінченності формула прямує до мінімальної середньої відстані до Місяця:

Це значення близьке до того, яке згодом навів Птолемей.

Реконструкція книги 1 (Тумер)

Окрім пояснення мінімальної відстані до Місяця, яку отримав Гіппарх, Тумер також реконструював метод першої книги, де використано сонячне затемнення. Папп зазначає, що це затемнення було повним у районі Геллеспонту, але в Александрії спостерігалося як затемнення на 4/5.

Якщо Гіппарх припускав, що Сонце розташоване на нескінченній відстані (тобто «Земля має відношення точки і центра до Сонця»), тоді різницю у величині затемнення можна пояснити лише паралаксом Місяця. Використовуючи спостережні дані, він міг визначити цей паралакс і, відповідно, відстань до Місяця.

Гіппарх знав і  — широти Александрії та Геллеспонту відповідно. Він також знав  — схилення Місяця під час затемнення, і , що пов'язане з різницею у фазі затемнення між двома регіонами.

Тут Crd позначає функцію хорди, яка зіставляє кут у градусах із довжиною відповідної хорди кола одиничного діаметра. R — радіус базового кола, яке Гіппарх використовував для обчислення хорди, а t — радіус Землі. Оскільки Місяць розташований дуже далеко, маємо . Із цього випливає:

Отже,

Маючи і , залишалося визначити , щоб знайти . Оскільки в пункті H затемнення було повним, а в пункті A — на 4/5, то становить 1/5 видимого діаметра Сонця. Цю величину Гіппарх добре знав — він приймав її рівною 1/650 повного кола. Тоді відстань від центра Землі до Місяця визначається як .

Тумер встановив, як саме Гіппарх обчислював хорду для малих кутів (див. Хорда (геометрія)). Значення широт Геллеспонту (41°) і Александрії (31°) відомі з праці Страбона «Географія». Щоб визначити схилення, потрібно знати, яке саме затемнення використав Гіппарх.

Оскільки відоме значення відстані до Місяця, яке зрештою отримав Гіппарх (71 радіус Землі), а також приблизний регіон спостереження затемнення, Тумер дійшов висновку, що йдеться про сонячне затемнення 14 березня 190 року до н. е. Це затемнення добре узгоджується з усіма математичними параметрами і відповідає історичному контексту. Воно було повним у Нікеї — батьківщині Гіппарха, тож він міг знати про нього зі свідчень очевидців. Про нього також згадує Страбон у «Від заснування міста» () VIII.2. Схилення Місяця в цей час становило . Тоді, використовуючи тригонометрію хорд, маємо:

Використовуючи таблиці хорд Гіппарха,

і, відповідно,

Це добре узгоджується зі значенням 71 радіус Землі, яке наводить Папп.

Висновок Якщо ці реконструкції точно відтворюють зміст праці Гіппарха «Про величини і відстані», то вона була видатним досягненням. Сам підхід — встановлення меж для невідомої фізичної величини — не був новим (див. Аристарх Самоський; Архімед застосовував подібний метод для пі), однак у тих випадках межі відображали неможливість обчислити математичну сталу з довільною точністю, а не невизначеність фізичних спостережень.

Схоже, що зрештою Гіппарх усунув суперечність між двома отриманими результатами. Його метою було знайти точне значення місячного паралакса, щоб точніше передбачати затемнення. Для цього потрібно було обрати конкретне значення відстані (або паралакса), а не інтервал можливих значень.

Існують певні свідчення, що він саме так і вчинив. Поєднання обчислень другої книги з повідомленням дає відстань до Місяця 60,5 радіуса Землі. Аналогічне поєднання з викладом Клеомеда дає значення 61 радіус Землі. Обидва результати разюче близькі як до значення Птолемея, так і до сучасного.

За словами Тумера,

Ця процедура, якщо моя реконструкція правильна, є надзвичайною… Вражає витонченість підходу до задачі двома цілком різними методами, а також повна чесність, з якою Гіппарх наводить свої розбіжні результати… які, попри це, мають однаковий порядок величини і (вперше в історії астрономії) потрапляють у правильний діапазон.

Література

F. Hultsch, "Hipparchos über die Grösse und Entfernung der Sonne", Sächsische Akademie der Wissenschaften, 52, 169–200 (1900). N. M. Swerdlow, "Hipparchus on the distance of the sun", Centaurus, 14 (1969), 287–305. G. J. Toomer, "Hipparchus on the distances of the sun and moon", Archive for History of Exact Sciences, 14 (1974), 126–142. G. Hon, "Is there a concept of experimental error in Greek astronomy?" The British Journal for the History of Science, 22.02 (1989): 129–150.