Теорема Гурвіца про композитні алгебри — теорема, що описує основні нормовані алгебри (не плутати з нормованими (банаховими) алгебрами що в функціональному аналізі).
Ця теорема сформульована німецьким математиком Адольфом Гурвіцем в 1898 році..
Визначення нормованої алгебри Алгебра називається нормованою, якщо в ній можна ввести скалярний добуток з властивістю:
Оскільки ввівши норму отримаємо
Формулювання теореми Довільна нормована алгебра з одиницею ізоморфна одній з чотирьох алгебр: дійсних чисел, комплексних чисел, кватерніонів чи октав.
Довільна нормована алгебра має властивість альтернативності:
Доведення
Лема 1 В довільній нормованій алгебрі справедлива тотожність
Лема 2 В довільній нормованій алгебрі з одиницею справедлива тотожність
Наслідком леми є формула
Доведення теореми Позначимо одиницю алгебри через
Кожен елемент можна представити єдиним чином у вигляді де
Введемо в алгебрі операцію спряження таким чином
Нехай — деяка підалгебра, що містить і не збігається з
Тоді існує одиничний вектор , що ортогональний до
Покажемо що елементи виду
також утворюють підалгебру в Позначимо її
Для цього доведемо: Представлення довільного елемента з у вигляді (*) можливе єдиним чином. Доведення використовує Лему 1. Множення елементів виду (*) задовільняє формулу яка збігається з процедурою подвоєння Келі-Діксона. Спочатку за допомогою наслідку Леми 2 доведемо формули: З яких легко отримати дану формулу.
Довільна підалгебра що містить і не збігається з є асоціативною. Доведення використовує наслідок Леми 2.
Отже, оскільки алгебра містить одиницю, то в неї є підалгебра з елементів виду що ізоморфна алгебрі дійсних чисел .
Якщо не збігається з алгеброю то розглянемо підалгебру що ізоморфна алгебрі комплексних чисел.
Якщо не збігається з алгеброю то розглянемо підалгебру що ізоморфна алгебрі кватерніонів.
Якщо не збігається з алгеброю то розглянемо підалгебру що ізоморфна алгебрі октав.
Алгебра вже повинна збігатися з алгеброю , оскільки вона вже не є асоціативною.
Див. також Проблема Гурвіца
Примітки
Джерела