Біномне число (у математиці, зокрема в теорії чисел) — це ціле число, яке можна отримати шляхом обчислення однорідного многочлена, що містить два члени. Воно є узагальненням числа Каннінгема.
Означення Біномне число — це натуральне число, отримане шляхом обчислення однорідного многочлена, що містить два члени, який називають біномом. Форма такого бінома така: при і . Оскільки завжди ділиться без лишку на , при вивченні біномних чисел, породжених версією з від'ємним знаком, їх зазвичай ділять на . Біномні числа, утворені таким чином, утворюють послідовності Люка . Зокрема:
і
Біномні числа є узагальненням чисел Каннінгема, і очевидно, що числа Каннінгема є біномними числами при . Іншими підмножинами біноміних чисел є числа Мерсенна та повторні одиниці.
Розклад на множники Основною причиною вивчення цих чисел є отримання їхніх розкладів на множники. Окрім алгебричних множників, які отримують шляхом розкладання на множники базового многочлена (бінома), використаного при визначенні числа, наприклад, таких як різниця двох квадратів та сума двох кубів, існують інші прості множники (які називають примітивними простими множниками, бо для заданого вони ділять без лишку при окрім невеликої кількості винятків, як зазначено в теоремі Жігмонді), які виникають, здавалося б, випадковим чином. І саме їх шукає фахівець з теорії чисел.
Деякі біномні числа, що лежать в основі біномів, мають аурифейлівські факторизації , які можуть допомогти у знаходженні простих множників. Циклотомічні поліноми також корисні у знаходженні факторизацій.
Обсяг роботи, необхідної для пошуку множника, істотно зменшують шляхом застосування теореми Лежандра. Ця теорема стверджує, що всі множники біномного числа мають вигляд якщо парне або якщо це непарне .
Застереження Деякі люди пишуть «біномне число», маючи на увазі біномний коефіцієнт. Але таке використання не є стандартним і є застарілим.
Див. також
Проєкт Каннінгема
Нотатки
Посилання
Зовнішні посилання
Біномне число на MathWorld